基于机器人避障问题的数学模型..doc

第 23 卷 第 6 期 长 春 大 学 学 报 Vol． 23 No． 6 2013 年 6 月 JOURNAL OF CHANGCHUN UNIVERSITY June 2013 基于机器人避障问题的数学模型 陈卫忠，王 庆 ( 苏州市职业大学 马列与公共教学部，江苏 苏州 215011) 摘 要: 研究了移动机器人避障最短路径和最短时间路径问题。根据路障的具体位置和大小确定出机器人可行路径。针对每条可行路径求出其上的最短路径。由于机器人不可折线行走，紧靠着障碍物朝向目标点行走，且只在障碍物的拐角处以弧线行走，这样的以直线和弧线的交替行走的路径即为最短路径。 关键词: 移动机器人; 避障路径; 路径规划 中图分类号: TP242 文献标志码: A 文章编号: 1009 － 3907( 2013) 06 － 0689 － 04 问题提出 图 1 是一个 800 × 800 的平面场景图，在原点 O 点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有 12 个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为 10 个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为 10 个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。请建立机器人从原点 O 到达目标点的避障最短路径的数学模型，并找出机器人从 O 出发，O→A、 ［1］ O→B、O→C 和 O→A→B→C→O 的最短路径 。 图 1 800 × 800 的平面场景障碍物图 图 2 障碍物扩大图 问题分析和模型假设 为了不与障碍物发生碰撞，将原始障碍物作适当扩大，即障碍物每边扩大 10 个单位( 图 2) ，从原点 O 到 达目标点的路径只可能紧靠在在障碍物的附近，根据机器人绕过不同的障碍物来划分为若干段，每段内找到 ［2］: 机器人的行走路径即由切线段和圆弧组成。最后我们建立机器人避障问题的最短路径优化模型 p Min = ∑di + ∑sj i，j= 1，2，3…… i = 1 j = 1 其中 di 为第 i 段切线段的长度和，sj 为第 j 段圆弧的长度和。同时要满足机器人行走路线与障碍物的最近距离大于 10 个单位，且每个圆弧的半径 r 最小也为 10 个单位。  收稿日期: 2013-05-17 作者简介: 陈卫忠( 1963-) ，男，江苏常熟人，副教授，主要从事应用数学研究。 690 长 春 大 学 学 报 第 23 卷 模型的建立和求解 3． 1 从 O 出发，O→A 的最短路径 机器人从 O( 0，0) 出发，O→A 需要绕过一个障碍物，仅有一个阶段。为使路径最短，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，且取圆弧半径为 10，从而 O→A 有 L1，L2 两条路径( 图 3) 。只需求出 L1，L2 长 度，并比较大小，即可求出 O→A 最短路径。以下为 O→A 绕过一个障碍物的路径 L 长度的求法: 图 3 从 O→A 的 L1，L2 两条路径图 图 4 θ 角图 设 A( x ，y ) ，P( x ，y ) ，O( x y ) ， = CPD( 图 4) ，则由 AP2 = CP2 + AC2 ，得到 1 1 33 2 2 θ AC = ( x1 － x3 ) 2 + ( y1 － y3 ) 2 － r2 ， 同理 OD = ( x2 － x3 ) 2 + ( y2 － y3 ) 2 － r2 。又 θ = 2π － APC － DPO － APO，则 θ = 2π － arccos r － arccos r ( x1 － x3 ) 2 + ( y1 － y3 ) 2 ( x2 － x3 ) 2 + ( y2 － y3 ) 2 － arccos ( x2 － x3 ) 2 + ( y2 － y3 ) 2 + ( x1 － x3 ) 2 + ( y1 － y3 ) 2 － ( x1 － x2 ) 2 － ( y1 － y2 ) 2 2 ( x2 － x3 ) 2 + ( y2 － y3 ) 2 ( x1 － x3