理论力学(I)习题详解刚体的平面运动.pdf

第9章 刚体的平面运动 9-1 椭圆规尺 AB 由曲柄OC 带动，曲柄以角速度ω 绕轴 O 匀速转动，如图 9-1 所示。 0 如 OC=BC=AC=r，并取 C 为基点，求椭圆规尺 AB 的平 面运动方程。 解 取 C 为基点。将规尺的平面运动分解为随基点的 平移和绕基点的转动。因为 OC BC AC r 所以 ∠COB ∠CBO 设此角为ϕ ，则 ϕ ω t 0 故规尺AB 的平面运动方程为 图9-1 x r cosω t ，y r sinω t ，ϕ ω t C 0 C 0 0 9-2 如图 9-2 所示，圆柱 A 缠以细绳，绳的 B 端固定在天花板上。圆柱自静止落下， 2 其轴心的速度为v 3gh ，其中 g 为常量，h 为圆柱轴心到初始位置的距离。如圆柱半 3 径为 r ，求圆柱的平面运动方程。 解 以点A 为基点，将圆柱的平面运动分解为随基点A 的平移和绕基点A 的转动。 先求基点A 的方程。图示坐标系中， x A 0, y A h dh 2 v 3gh dt 3 改写为 dh 2 3 g dt h 3 上式积分 h dh 2 3g t ∫ ∫dt 0 h 3 0 得 图9-2 1 2 y A h gt 3 依题意，有 h 1 2 ϕA gt r 3r 故圆柱的平面运动方程为 ⎧ ⎪ x 0 ⎪ A ⎪ 1 2 ⎨y A gt ⎪ 3 ⎪ 1 2 ⎪ϕA gt ⎩ 3r 9-3 半径为 r 的齿轮由曲柄 OA 带动，沿半径为 R 的固定齿轮滚动，如图 9-3a 所示。 如曲柄 OA 以等角加速度α绕轴 O 转动，当运动开始时，角速度ω 0 ，转角ϕ 0 。求 0 0 动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。 105 解 动齿轮的平面运动可分解为以 A 为基点的平移和绕点 A 的转动。在图 9-3 所示坐 标系中， y ′ y N A ′