【详解版】【南方新中考】2015中考(南粤专用)数学复习配套检测第二部分中考专题突破专题八 三角形和四边形.doc
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专题八 三角形和四边形
⊙热点一:与三角形、四边形有关的计算、证明
1.(2013年广西钦州)如图Z8-3,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是________.
图Z8-3
2.如图Z8-4,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点E,F分别在AB,CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A′,D′处,则整个阴影部分图形的周长为( )
图Z8-4
A.18 cm B.36 cm
C.40 cm D.72 cm
3.(2013年江苏扬州)如图Z8-5,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在边AB上,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE的位置,连接AE.
(1)求证:AB⊥AE;
(2)若BC2=AD·AB,求证:四边形ADCE是正方形.
图Z8-5
⊙热点二:与三角形、四边形有关的操作探究题
1.(2013年湖南湘潭)在数学活动课中,小辉将边长为eq \r(2)和3的两个正方形放置在直线l上,如图Z8-6(1),他连接AD,CF,经测量发现AD=CF.
(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,如图Z8-6(2),试判断AD与CF还相等吗?说明你的理由;
(2)他将正方形ODEF绕点O逆时针旋转,使点E旋转至直线l上,如图Z8-6(3),请你求出CF的长.
(1) (2) (3)
图Z8-6
2.(2014年广西柳州)如图Z8-7,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于F,连接DF,过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.
(1)求线段PQ的长;
(2)问:当点P在何处时,△PFD∽△BFP,并说明理由.
图Z8-7
专题八 三角形和四边形
【提升·专项训练】
热点一
1.10 解析:如图105,连接DE,交AC于P,连接BP,则此时PB+PE的值最小.∵四边形ABCD是正方形,
图105
∴B,D关于AC对称.∴PB=PD.
∴PB+PE=PD+PE=DE.
∵BE=2,AE=3BE,
∴AE=6,AB=8.
∴DE=eq \r(62+82)=10.
故PB+PE的最小值是10.
2.B
3.证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠B=∠BAC=45°.
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,
∴∠DCE=90°,CD=CE.
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD,即∠BCD=∠ACE.
在△BCD和△ACE中,eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BC=AC,,∠BCD=∠ACE,,CD=CE,))
∴△BCD≌△ACE(SAS).∴∠B=∠CAE=45°.
∴∠BAE=45°+45°=90°.∴AB⊥AE.
(2)∵BC2=AD·AB,BC=AC,
∴AC2=AD·AB,则eq \f(AD,AC)=eq \f(AC,AB).
∵∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB.
∴∠CDA=∠BCA=90°.
而∠DAE=90°,∠DCE=90°,∴四边形ADCE为矩形.
又∵CD=CE,∴四边形ADCE为正方形.
热点二
1.解:(1)AD与CF还相等,理由如下:
∵四边形ODEF、四边形ABCO为正方形,
∴∠DOF=∠COA=90°,DO=OF,CO=OA.
又∵∠COD+∠DOF=∠COD+∠COA,
∴∠COF=∠AOD.
∴△COF≌△AOD(SAS).∴AD=CF.
(2)如图106,连接DF,交EO于G,
则DF⊥EO,DG=OG=eq \f(1,2)EO=1.
∴GA=4.∴AD=eq \r(DG2+GA2)=eq \r(12+42)=eq \r(17).
由(1),得CF=AD=eq \r(17).
图106
2.解:(1)根据题意,得PD=PE,∠DPE=90°,
∴∠APD+∠QPE=90°.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=90°.
∴∠ADP+∠APD=90°.∴∠ADP=∠QPE.
∵EQ⊥AB,∴∠A=∠Q=90°.
在△ADP和△QPE中,
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠A=∠Q,,∠ADP=∠QPE,,PD=PE,))
∴△ADP≌△QPE(AAS).∴PQ=AD=1.
(2)当点P在AB中点时,△PFD∽△BFP.理由如下:
若△PFD∽△BFP,则eq \f(PB,BF)=eq \f(PD,PF)
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