2013年广东高考文科数学试题及答案解析(图片版).doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（科）选择题：本大题共小题每小题5分，满分0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 答案 C D C C B A B D B 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（ ~ 13题） 13.5 （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） （为参数） 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分） ，（1）的值； （2）若，求． 16. 解：（1） （2），，， 所以． 17.（本小题满分1分） 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 5 10 20 15 （1）根据频数分布表计算苹果的重量在的频率； （2）用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？ （）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率． 17. 解：（1）苹果的重量在的频率为； （2）重量在的有个； （3）设这4个苹果中分段的为1，分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种设任取2个，重量在和中各有1个为事件，则事件包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以. 18.（本小题满分14分） 如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （）当时，求三棱锥的体积． 18. 解：（1）在等边三角形中， ，在折叠后的三棱锥中也成立∥ 因为平面，平面∥平面 （2）在等边三角形中，是的中点，所以， 在三棱锥中，，即 因为 所以 （3）由（1）可知，结合（2）可得. 19. （本小题满分14分） 设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列． （1）证明：； （2）求数列的通项公式； （）证明：对一切正整数，有． 19. 解：（1）当时，， 因为，所以 （2）当时，②得 整理得 因为，所以，即（） 所以当时，是公差2的等差数列. 构成等比数列，，，解得 由（1）可知 因为 所以是首项公差的等差数列 数列的通项公式为. （3） 20.（本小题满分14分） 已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点． （1）求抛物线的方程； （2）当点为直线上的定点时，求直线的方程； （）当点在直线上移动时，求的最小值． 20.焦点到直线的距离 所以抛物线的方程 （2）方法一：设， 由（1）得抛物线的方程，，所以切线，， 所以: ① : ② 联立①②可得点的坐标为，即， 又因为切线，整理得 直线的斜率 所以直线的方程 整理得，即 因为点为直线，即 所以直线的方程 方法二：设点,， 抛物线的方程，， 所以抛物线在点处的切线的方程为，即. ， . 因为点在切线上 ① 同理 ② 综合①、②得，点的坐标都满足方程 经过两点的直线是唯一的 直线的方程为，点为直线，即 所以直线的方程 （3）， 所以 由（2）得，， 所以 所以当时，的最小值 方法二：根据抛物线的定义，有， 所以 联立，消去得 ， 因为 所以 所以当时，的最小值 21.（本小题满分14分） 设函数． （1）当时求函数的单调区间； （2）当时求函数在上的最小值和最大值． 21. 解：（1） 当时， 所以，的单调区间. （2）当时，，其开口向上，对称轴 ，且过 （i）当，即时，，在上单调递增， 的最小值的得最大值. （ii）当，即时，令 解得，注意到随的变化情况如下表： 0 0 ↗ 极大值 极小值 所以， 因为 的最小值 所以的最大值 综上所述，的最小值最大值