第三章_季节ARIMA模型.doc

第三章 季节时间序列模型 在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。这类序列称为季节性序列。在经济领域中，季节性序列更是随处可见。如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model）。 3.1 季节时间序列模型的建立 设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的变化周期为s，则通常时间间隔为s的观测值之间存着一定的相关关系。 1、季节差分：消除季节单位根 与非季节时间序列模型一样，当存在季节单位根时，即季节性时间序列yt= yt – s + ut, 则首先用季节差分的方法消除季节单位根，即yt - yt – s. 季节差分算子定义为， (s = 1- Ls 也称为s阶差分，则对yt进行一次季节差分表示为 (s yt = (1- Ls) yt = yt - yt - s 若非平稳季节性时间序列存在D个季节单位根，则需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。即 (s Dyt = (1- Ls) D yt 2、季节自回归算子与移动平均算子：描述季节相关性 类比一般的时间序列模型，序列xt=(s Dyt中含有季节自相关和移动平均成份意味着， 即(s Dyt可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型。 (P (Ls) (sDyt = (Q (Ls) ut (2.60) 其中(P (Ls)=(1-(1 Ls-(2 L2s-(P LPs)称为季节自回归算子; (Q (Ls) =(1+(1Ls+(2 L2s+(Q LPs)称为季节移动平均算子（注意季节自回归项和季节移动平均项的表示方法，例如P、Q等于2时，滞后算子应为(Ls)1 = Ls，(Ls)2 = L2s）。对于上述模型，相当于假定ut是平稳的、非自相关的。以上模型把序列中的季节单位根、季节相关成份描述完了，那么如果 ut是我们前面描述的ARIMA(p,q)过程呢？或者说中还含有单位根以及一般的自回归、移动平均成份呢？ 3、季节时间序列模型的一般形式：乘积季节模型 当ut非平稳且存在ARMA成分时，则可以把ut描述为 (p (L) (dut = (q (L) vt (2.61) 其中vt为白噪声过程，p, q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示ut的一阶（非季节）差分次数。由上式得 ut = (p-1(L) (-d (q (L) vt (2.62) 把 (2.62) 式代入 (2.60) 式，于是得到季节时间序列模型的一般表达式。 (p(L) (P(Ls) ((d(sDyt) = (q(L) (Q(Ls) vt (2.63) 其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d, D分别表示非季节和季节性差分次数。上式称作 (p, d, q) ( (P, D, Q)s 阶季节时间序列模型或乘积季节模型。当协方差平稳序列(d(sDyt含有均值μ等确定性成分时（通常如此），上述模型表示为， (p(L) (P(Ls) ((d(sDyt - μ) = (q(L) (Q(Ls) vt (2.64) 保证（(d(sDyt）具有平稳性的条件是(p(L)(P(Ls) = 0的所有根在单位圆外；保证（(d(sDyt）具有可逆性的条件是(q (L)(Q (Ls) = 0的所有根在单位圆外。 当P = D = Q = 0时，SARIMA模型退化为ARIMA模型；从这个意义上说，ARIMA模型是SARIMA模型的特例。当P = D = Q = p = q = d = 0时，SARIMA模型退化为白噪声模型。 (1, 1, 1) ( (1, 1, 1)12 阶月度SARIMA模型表达为 (1- (1 L) (1- (1 L