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向量 打开几何问题的一把金钥匙 （浙江台州黄岩灵石中学 318024） 童华青 向量是具有几何形式和代数形式的一套优良运算通性的数学体系。它既能体现“形”的直观的位置特征，又具有 “数”的抽象与严谨的运算性质，本身就是一个数形结合的产物，是数形结合与转换的桥梁，并广泛应用于生产实践和 科学研究中。向量的应用是一种新的思想方法，新的探索问题的途径，通过向量可以展示一种新的思维能力和创新意识。 记得本人在读高中时早已有了向量的概念，只是在复数中出现，并没有在解题中充分发挥它的优势，而每年高考都 有几何题目——平面的和立体的。解此类题目时需要有很强的分析能力、抽象的空间想象能力和逻辑推理能力。这三点 往往都是学生的薄弱点，解答时并不容易，得分率自然也不高。 英国数学教育家麦耐斯（Manells）和都恩（Dunn）在回顾他们国家近 100 年来数学课程目标的发展时指出“逻辑推 理能力虽然仍占一席之地，但不再享有以前那样被夸张其词的重要性”。而我国近几年在教改盛风的吹拂下，高中数学有 了很大的变化。教学大纲的改革和制定很明确，目标是“在学生的能力之内发展他们的数学技能和理解能力，以满足今 后成人生活，就业和进一步学习与培训的需要；提供学习其他课程所需要的数学知识；发展学生对数学的兴趣和爱好； 使学生懂得将数学作为信息交流的工具”。而平面向量的进一步强化，空间向量的引入，大大化简了直线、平面、空间里 有关长度、角度、平行、垂直、共线等问题的难度。因此，在解决几何问题中，向量法比传统方法更受欢迎将是一个必 然趋势，它成为打开几何问题的一把金钥匙。 下面就谈谈这把金钥匙在几何的应用： —.在解析几何中的应用 解析几何与向量是高中数学新课程方案中的两个重要分支学科。数形结合是这两个学科的共同特点。对于解析几何 中图形的重要位置关系（如平行、垂直、相交、三点共线等）和数量关系（如距离、角等），向量都能通过其坐标运算来 进行刻划，这就为在解析几何中 充 分运用向量方法创造了条件。 运用向量方法解决解析几何问题的一般步骤是： 解几问题 问题解决 向量问题 向量运算 2 2 x y x y 例1．（1995年全国高考题）已知椭圆C：  1 ，及直线L： ，点P是L上一点，直线OP交椭圆  1 24 16 12 8 于R，又点Q在OP上，且满足 OQ  OR OR 2，当点P在直线L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解 设Q（x , y ）是所求轨迹上任一点，由 P、Q