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初中数学数形结合例题
篇一:中考数学专题之数形结合
中考数学专题数形结合
知识梳理
数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维相结合,通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化,抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,从而起到优化计算的目的.
华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事休.”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性,是中考数学的一个最重要数学思想.
典型例题
一、在数与式中的应用
【例1】实数a、b
a?b=_________.
【分析】 由数轴上a,b的位置可以得到alt;0,b0且alt;b.
??a,a?b?b?a. 【解】
a???a??b?2?a ?b?a?
【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”??,则搭n条“金鱼”需要火柴_________根.
【分析】 由图形可知,搭1条金鱼需要8根火柴棒,后面每多一条就多6根火柴棒,所以搭n条金鱼共需8+6(n-1)=(6n+2)根火柴棒. 【解】6n+2
二、在方程、不等式中的应用
?x?a?0
【例3】 (08聊城)已知关于x的不等式组?的整数解共有2个,则a的取值范围是___________.
2?x?0?
【分析】解不等式组得解集为?
?x?a
,我们可以将xlt;2标注在数轴上,要使得不等式组有2个整数解,由
?x?2
图象可知整数解为0,1,则a应在-1~0之间,且可以等于-1,但不能为0,所以以的取值范围是-l≤alt;0.
【解】 1≤nlt;0
【例4】(08南通)用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所解的二元一次方程组是 ( ) A.?
?x?y?2?0?2x?y?1?0
B.?
?3x?2y?1?0?3x?2y?1?0
C.?
?x?y?2?0?2x?y?1?0
D.?
2x?y?1?03x?2y?5?0??
?x?1
,只要将解进行代入检验即可. ?y?1
【分析】 根据图象我们可以知道这个方程组的解为?
【解】D
【例5】 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若关于x的方程ax2+bx+c-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为 (
)
A.k3 B.k=3C.klt;3D.无法确定
【分析】 如果根据b2-4ac的符号来判别解的情况,本题将无从入手,可将原方程变形为ax2+bx+c=k,
?y?ax2?bx?c
从而理解成是两个函数的交点问题,即?,由图象可知只要y=klt;3就一定定与抛物线有两
y?k?
个不同的交点,所以答案选C.
【解】C
三、在函数中的应用
【例6】 (08安徽)如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中:
aclt;0 ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3 a+b+c0 ④当x1时,y随x的增大而增大 正确的说法有__________.(把正确的答案的序号都填在横线上)
【分析】 由图象可知,开口向上,与x轴交于-1和3两点,与y轴交于负半轴,则a0,clt;0;由对称性知对称轴x=1,所以结论正确. 【解】
【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示,为经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).要跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面10
2
米,入水处距池边的距离为4米,同时,运动员在距水面高度为5米以前,必须完3
成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误, (1)求这条抛物线的解析式;
(2)在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线是如图抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为3导米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.
【分析】(1)在给出的直角坐标系中,要确定抛物线的解析式,就要确定抛物线上三个点的坐标,如起跳点O(0,0),入水点(2,-10),最高点的纵点标为
2. 3
(2)求出抛物线的解析式后,要判断此次跳水会不会失误, 就是要看当该运动员在距池边水平距离为3
333
米,x?3?2?1时, 555
该运动员距水面高度与5米的关系.
【解】(1)在给定的直角坐标系下,设最高点为A,入水点为B,抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,由图可
??c?0?2?
2b?c?10?知,O,B两点的坐标依次为(0
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