初中数学论文：谈初中数学中的数形结合 .doc

初中数学论文：谈初中数学中的数形结合 【摘要】 数形结合是初中数学教学中非常重要的一种数学解题思想，也是一种有效的解题方法，不仅能培养学生的创新精神，发展学生的想象力，还能提高学生的思维能力. 【关键词】 初中数学；数形结合 数与形是数学知识体系中的两块基石，是数学教学与研究中不可分割的两方面，数侧重于研究物体数量方面，具有精确性，形侧重于研究物体形的方面，具有直观性. 著名数学大师华罗庚曾经说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微. 这句话道出了数与形之间的紧密联系. 数形结合其实就是通过结合抽象的数学语言和直观的图形，将抽象思维与形象思维有机地结合起来，将数量关系转化为相关元素的数量计算，这样既能充分发挥数的优势，又能利用形的直观性，借助形象思维解决抽象的问题，达到化难为易的目的. 本文主要结合自身教学实践，谈谈初中数学中经常用到数形结合的几个方面. 一、通过数轴达到数与形的结合 数轴是实现数形结合的一个重要途径，数轴上的点与实数的关系是一一对应的，点即形，实数即数，它充分表现出了数的准确，形的直观，把负数、相反数、绝对值、有理数的大小比较、不等式等有机地融合在一起，这样的数量关系可以通过几何图形进行直观的描述，直观地反映了客观世界. 比如相反数就是让学生认识到原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数. 零的相反数是零本身也即是原点（如图１）. 绝对值表示这个数的点与原点的距离. 通过数轴可以很直观地、快捷地确定结论，很容易比较出两点之间到原点的距离大小. 如ａ点到原点的距离比ｂ点到原点的距离大（如图２）. 利用数轴数形结合的优势，可以解决一些代数问题. 如绝对值小于６大于２的整数有哪些？分析这个问题可以通过建立数轴，利用数形结合，直观地解决问题，减少学习阻力（如图３）. 解不等式时可以通过数轴找到满足条件的解，简化不等式的解法. 如解不等式|ｘ － ３| ＜ ６. 解这个不等式时，可以根据绝对值的几何意义，把本题看作是数轴上的点ｘ到３的距离小于６，这样很容易找到满足条件的ｘ的值，即－３ ＜ ｘ ＜ ９．（如图４） 二、通过直角坐标系达到数形结合 直角坐标系可以看作是升级版的数轴，在初中数学教学中占有非常重要的地位. 在直角坐标系中，有序实数对和平面内的点的关系是一一对应的，使数与形完美地结合在一起，达到了和谐统一. 初中阶段要学习的一次函数、反比例函数、二次函数都是通过直角坐标系来实现数形的完美结合，从而对形的认识更为清晰、深刻，对数的理解更为形象、具体. 如图５，函数ｙ ＝ 与ｙ ＝ ｘ － ｋ（ｋ ≠ ０）在同一直角坐标系中的图像只可能是 （ ）. 分析 当ｋ ＞ ０时，函数ｙ ＝ 的图像在第一、三象限，只有ｂ，ｄ符合条件；而对于函数ｙ ＝ ｘ － ｋ来说，其图像过第一、三、四象限，所以，ｂ，ｄ不可能；当ｋ ＜ ０时，函数ｙ ＝ 的图像在第二、四象限，只有ａ，ｃ符合条件，而对于函数ｙ ＝ ｘ － ｋ来说，其图像过第一、三、四象限，ｃ不可能. 所以选ａ. 解答本题要反复对比图像，是数形结合解题的典型. 再如解不等式 ＞ ｘ － １. 可以假设ｙ１ ＝ ，ｙ２ ＝ ｘ － １，这就把不等式的解转化为使ｙ１比ｙ２大的所有值. ｙ１为反比例函数，ｙ２为一次函数，可以通过直角坐标系画出它们的图像，两图像的焦点ａ、ｂ的横坐标，即是方程 ＝ ｘ － １的解. 从图像可以看出，当ｘ ＜ －１或者０ ＜ ｘ ＜ ２时，ｙ１ ＝ 的图像在直线ｙ２ ＝ ｘ － １的上方，也就是说对同一个ｘ值，ｙ１的值总比ｙ２的值大. 所以，不等式的解是ｘ ＜ －１，０ ＜ ｘ ＜ ２. （如图６） 三、通过函数达到数形结合 通过对抽象的数赋予直观图形的意义，以形助数，或者对直观的图形给予代数的意义，以数促形，会极大地发挥数形结合的作用. 初中阶段对于函数性质的学习，是有一定的难度的，对函数的增减性、图像在直角坐标系中的位置比较难把握. 但通过函数学习，学生也会真正意识到数与形的密不可分，主要是通过函数的图像体现出来的. 函数的图像是一个集合，是平面上满足函数关系式的所有点的集合，通过图像来研究函数，更为直观、具体. 因此，在教学的过程中，可以借助直观的图形授课，起到化繁为简、化难为易的目的. 比如学习“解直角三角形”时，可以从三角函数的概念入手，来推导三角形的解法和应用，在这一过程中具体的体现了数形结合的思想方法. 解直角三角形具体的问题时，可以借助图形的直观性确定已知元素、未知元素，并找出其间的关系，顺利地解决问题，从而突破难点. 再如方程ｘ２ ＋ ａｘ ＋ ｂ ＝ ０的实根均大于１，设ｓ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ １，试判断ｓ的符