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计算方法B上机报告
某通信公司在一次施工中，需要在水面宽度为20米的河沟底部沿直线.走向铺设一条 沟底光缆。在铺设光缱之前需要对沟底的地形进行初步探测，从而估计所需光缆的长 度.为工程预算提供依据。已探测到一组等分点位置的深度数据（单位：米）如下表所 示：
分点
0
1
2
3
4
5
6
深度
9.01
8.96
7. 96
7. 97
8. 02
9.05
10.1
3
分点
7
8
9
10
11
12
13
深度
11.1
8
12.2
6
13.2
8
13.3
2
12.6
1
11.2
9
10.2
2
分点
14
15
16
17
18
19
20
深度
9. 15
7. 90
7. 95
8. 86
9. 81
10.8
0
10.9
3
（1）请用合适的曲线拟合所測数据点:
（2）估算所需光缆长度的近似值，并作出铺设河底光统的曲线图;
问题分析和算法思想：
本题的主要目的是对21个测量敦据进行拟合，同时对拟合曲线进行线积分即可得到 河底光缆长度的近似值，可以用的插值方法很多：多项式插值、Lagrange插值、Newton 插值，三次样条插值等。由于数值点较多时，采用高次多项式插值将产生很大的误差， 用拉格朗日插值多项式会出现忍格现象。故为了将所有的数据点都用上，且題中光缆 为柔性，可光滑铺设于水底，筌于此特性，采用三次样条插值的方法较为合适。
计算光缆长度近似值，只需将每两点之间的距离算出，然后依次相加，所得的折线长 度，即为光缆长度的近似值。
光缆长度计算公式：
/=『Ji+（r（x）r厶=史 J：TJi+（广（癇dx
i-0
算法结构：
三次样条算法结构见《计算方法教程》P110o 源程序：
clear:clc;
x=0:20;
y=[9.01 8. 96 7. 96 7. 97 8.02 9. 05 10. 13 11. 18 12. 26 13. 28 13. 32 12.61 11.29
10. 22 9. 15 7. 90 7. 95 8. 86 9. 81 10. 80 10. 93];
d=y;
pIot (x, y, k. markersize, 15)
hold on
斌%计算二阶差商
for k=1:2
for i=21：-1:(k+1)
d(i) = (d ⑴-d(i-1))/(x(i)-x(i-k));
end
end
假定d的边界条件，釆用自然三次样条
for i=2:20
d(i)=6*d(i+1);
end
d(1)=0;
d (21)=0;
%%%追赶法求解带状矩阵的m值
a=0. 5*ones (1,21);
b=2*ones(1,21)；
c=0. 5*ones (1,21);
a(1)=0;c(21)=0;
u=ones(1,21);
u(1)=b⑴；
r=c；
vy ⑴=d(D;
鵬%追的过程
for k=2:21
I (k) =a (k) /u (k-1); u(k)=b(k)-l(k)*r (k-1);
yy(k)=d(k)-l(k)*yy(k-1)；
end
%爛赶的过程
m(21)=yy(21)/u(21);
for k=20：-1:1
m (k) = (yy (k)-r (k) *m (k+1) ) /u (k);
end
料％利用插值点画出拟合曲线
k=1;
nn=100;
xx=li nspace(0, 20, nn);
1=0；
for j=1:nn
for i=2:20
if xx(j)=x(i)
k=i;
break;
else
k=i+1;
end
end
h=1;
xbar=x (k)-xx(j);
xmao=xx (j) -x (k-1);
s (j) = (m (k~1) *xbar3/6+m (k) *xmao3/6+ (y (k-1) -m (k-1 )*h2/6) *xbar+(y (k) -m (k)
*h2/6)*xmao)/h；
sp (j) =-m (k-1) * (x (k) -xx (j)广2/ (2*h) +m (k) * (xx (j)~x (k-1) ) 2/ (2*h) + (y (k) -y (k- 1))/h-(m(k)-m(k-1))*h/6;
l(j+1) = (1+sp(j)/2)0.5*(20/rm)+l(j);%利用第一类繊积分求河底光缆的长度
end
%%% 绘 a
titleC光统插值曲线’)
xlabel (分点?)
ylabelC 深度
p Iot (xx, s, r-, I i newidth ,1.5)
grid
disp([* 所需光缆长度为二 num2str(l(nn+1)),米])
运行结果：
第2题
假定某大的气温变化记录如下表所示，试用敷据拟合的方法找出这一天的气温变化的
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