人教版八年级数学上期中重难点综合复习.pdf

第1讲 期中专题（一） 一、作线段相等构造全等三角形 ◆例1 已知，在△ABC中，AD为高，且AB ＋CD ＝AC ＋BD.求证：AB ＝AC. 分析:由AB ＋CD ＝AC ＋BD ，把和相等的两条线段移到一起，构造全等三角形。 证明： 点评：作线段相等构造三角形全等，是构造全等三角形的常用方法，应结合具体的条件、结论和图形来 实施。本例是紧扣两组线段的和相等构造全等三角形. ◆例2 如图A( ,0)、B(0 ， ) ，且 ＋ ＝0. (1) 求A、B点的坐标； (2) 若P为 轴的正半轴上一动点，C为B点关于 轴的对称点，PD⊥PC交直线AB于点D ，求证：PD ＝ PC ； (3)若点Q为B点下方的一动点，M为AB的延长线上一点，且AQ ＝MQ,过M点作MN⊥ 轴于N,问：当Q点 运动时，QN的长度是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。 分析：（1）由非负数性质得 , (2)B、C关于 轴对称，所以 轴垂直平分BC,连AC、PB,证PD ＝PC,转化为证PD ＝PB,证∠PDB ＝∠PBD. (3)可证△MNQ≌△QOA ，所以QN ＝OA ＝4. 解： 点评：（1）算术平方根是一个非负数，由非负数的性质求出参数的值； （2）注意分析数据，结合观察，捕捉图形的特殊性； （3）全等意识，动中取静. 练习习 1、求证：有两个角及周长对应相等的两个三角形是全等三角形. 2、（1）如图①，在正方形ABCD中，N为BC边上任一点（不含B、C），过N做NM⊥AN交∠DCB的外角 平分线于M,求证：AN ＝MN （2）如图②，在五边形ABCDE中，AB ＝BC ，N为BC延长线上一点，过N作∠ANM ＝∠ABC ＝∠BCD ， 交∠BCD的外角平分线于M ，试问AN ＝NM成立吗？证明你的结论. 二．抓相等的两直角边构造全等三角形 ◆例3 如图，等腰Rt△ABC 中，∠ABC ＝90° ，AB ＝BC ，点A、B分别在坐标轴上. （1）如图①，若C点横坐标为5 ，求B点坐标; （2）如图②，将△ABC摆放至 轴恰好平分∠BAC ，BC交 轴于点M ，过C点作CD⊥ 轴于D点， 求 的值; （3）如图③，若点A坐标为（－4,0），分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF与等 腰Rt△ABE ，连接EF交 轴于点P ，当B点在 轴正半轴上移动时，下列两个结论：①PB的长不变；②EF －EB的值不变，其中只有一个是正确的，请选择，并求其值. 分析：（1）C点的横坐标为5 ，所以过C点作CG⊥ 轴于G ，得△BCG≌△ABO ，BO ＝CG ＝5 （2）由条件AD平分∠BAC ，分别延长AB、CD交于H ，得△ABM≌△CBH ，AM ＝CH ＝2CD (3)由条件容易想到由等腰Rt△ABE构造全等，即过E作EQ⊥ 轴于Q ，得△BEQ≌△ABO ，EQ ∥BF ，EQ ＝ BF ，于是△PEQ≌△PFB ，PB ＝PQ ＝ BQ ＝ AO ＝2 点评：本例中的（1）、（2）、（3）问题都是抓住等腰直角三角形的两条直角边，依托直角坐标系中 的直角，构造全等三角形，为解决问题奠定了基础。 练习习 3.如图，Rt△ABC中，∠ACB ＝90° ，AC ＝BC ，直线MN过点C ，AD⊥MN于点D ，BE⊥MN于点E. （1）如图①所示时，请直接写出DE与AD、BE的数量关系； （2）当MN绕点C旋转，使MN与AB交于P ，其他条件不变，在图②中完成图形，请问DE与AD、BE之间 有何数量关系？证明你的结论。 4.如图，等腰△ABC中，∠ACB ＝90° ，D为AC上一点，E为BC外一点，DE ＝BE ， 且DE⊥BE ，连CE ，求证：CE∥AB. 三、倍长中线构造全等三角形 ◆例4 如图①，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90° ， CN⊥BE交AD于M ，垂足为N. (1)求证：AM ＝DM (2)将△ CDE绕C点旋转至图②，问（1）中的结论是否仍成立？ 证明你的结论 分析：（1）转化为证∠1 ＝∠2 ，而∠2 ＝∠3 ，应证∠1 ＝∠3 ， 由CN为Rt△BCE斜边上的高得证 (2)猜想结论成立，类比中线的处理方式——“倍长中线” ， 为证全等方便，变通为做AF ∥CD交CM的延长线于F ，