机械振动2-1简谐振动.ppt

例2.1-1 均匀悬臂梁长l，弯曲刚度EJ，重量不计，自由端附有重P=mg的物体，求物体的振动方程、频率. 我们将弹簧的1/3质量定义为弹簧的等效质量。 （3′） 其中 （3′）是有阻尼振动的位移通解另一种形式。 其振幅随着时间t的增长而衰减。 A1 A2 A3 Td t x 由于阻尼的存在 对于小阻尼， 周期略有增大 为了表示振幅衰减的快慢，取任意两个相邻振幅之比 A1 A2 A3 Td t x 以初始条件代入，得 2、当 (临界阻尼状态)，得两个相同的实根：p1=p2=-ωn ，即方程之解为： 0 t x 这是一个单调衰减运动（随着t增大，x越来越小，趋于零）， 右图是不同初始条件下的位移时程图。 它们不是真正意义的振动。 式中e的指数分别为 它们都是负数 3、当 （过阻尼状态），得两个不同负根，方程解为： 因此这里x＝x(t)也是一个单调衰减运动， 而不是真正意义的振动。 0 t x 解： 例2.5-1 为车辆设计小阻尼减震器，要求振动1周后的振幅减少到第一幅值的1/16.已知车辆质量m=500kg，阻尼振动周期Td =1s，试求减震器的刚度系数k和阻尼系数c。 所以 第二章作业： 2.1; 2.3; 2.5； 2.9; 2.14; 2.16 第二章 单自由度系统的自由振动 §2.1 简谐振动 §2.3 瑞利法 §2.2 能量法 §2.4 等效刚度系数 §2.5 有阻尼系统的自由振动 自由振动—受初始扰动激发所致振动，没有 外界能量补充。 无阻尼自由振动—保守系统，机械能守恒，动能与势能互相转换，恒稳振动，实际上不存在，但可作为某些振动的近似处理。 （有）阻尼自由振动—非保守系统，衰减， 本章讨论单自由度的自由振动。 §2.1 线性系统的自由振动 我们看一个简单的振动模型 x x F＝＋kx 0 弹簧质量系统在光滑平面上的振动。 其中k——刚性系数（产生单位位移所需的力）。加负号是因为：弹性恢复力永远与位移x方向相反。（始终指向静平衡位置） 弹簧质量不计；质体m当作刚体（或一个质点）；并假设弹簧的恢复力与变形成正比，即：F＝－kx〔注：k的单位N/m〕 或写成： 其中常数C1 ，C2由初始条件确定。 这里令 上式即一个自由度（线性）系统自由振动微分方程。这是个二阶齐次线性常微分方程。它的通解是： 由牛顿第二定律： 设：当t＝0时 ∴ 〔注：这正是圆频率相同的两个简谐振动，一个用正弦、一个为余弦的合成情况，也是一个简谐振动。〕 把初始条件代入上式，可得 其中 讨论： 1、单自由度系统的自由振动是个简谐振动，其振幅A和初相位φ由初始条件决定。从这里可以看到自由振动最初发生的原因，必须有初位移x0或初速度v0或两者都有才有振动x＝Asin(ωnt＋φ)，否则x＝0，——无振动 （弧度/秒） 2、自由振动的圆频率（或角频率） 频率取决于系统的质量及弹簧刚度，因此是系统所固有的，与运动的初始条件无关（也解释说，与系统是否发生振动无关）故把ωn称为固有频率。一座建筑物，一台机器，一架飞机等等，一旦制造出来，其m，k就都是确定的了，于是固有频率也就确定了。固有频率是本课程最重要的概念，在以后的学习及工作中经常要用到（例如防止共振）。 固有频率的求法： a、 b、 其中 ——静伸长（cm） g——重力加速度（cm/s2） P δc k 固有（自然）频率及周期为 在工程实际中，一些比较简单的振动系统可以抽象为上述单自由度质量-弹簧系统，而具有相同的动力学方程和运动规律，书上有些具体例子。 l m y 解：由材料力学知： 悬臂梁的作用等价于悬挂弹簧，设其刚度系数k，有 物体的振动方程： 固有频率： 对无阻尼自由振动的问题。由于没有阻尼，系统就没有能量损失，根据机械能守恒定律，在整个振动过程中任一瞬时机械能保持为常数，即： 2. 2 能量法 U——系统由于弹性变形而储存势能，或由于重力作功而产生的重力势能。 将具体能量代入（2）式，化简后可得保守系统的振动微分方程。 （1）式对时间求导： （1） 其中 T——系统中运动质量所具有的动能 （2） 我们选取静平衡位置为第一瞬时位置，这时势能为零，而动能达到最大值Tmax； Tmax＝Umax (2) 对较复杂系统，用能量法建立微分方程和求固有频率，有时更为方便。 当质点离开平衡位置到最远点时，速度减为零，即动能为零，但势能达到最大值Umax，我们取之为第二瞬时位置。 由（1）式得：Tmax