8求解方法和稳定性_803207504讲诉.ppt

* 在塑性加载时若发生弹性卸载，弹性模量大于塑性模量，临界步长增大了 在塑性加载时若发生弹性卸载，弹性模量大于塑性模量，临界步长增大了 * * * 带波浪的为节点变量的过程值，与前面时间步n有关的值。廖剑晖有独到见解，见他的小组讨论ppt。 * 这与优化的概念是一致的，寻找目标函数，满足约束条件。 * * 使势能函数最小化，又充分发挥约束的作用，使lambda最大，画鞍点图。 这与优化的概念是一致的，寻找目标函数，满足约束条件。采用Green应变和PK2应力，优化扩展至非线性问题。 * 相当于x向位移增量，图左右刚度画反了。位移增量大于零，1杆压，为Hp；2杆从压转拉，开始卸载，为E。 * 象限1，y向位移增量向上，两杆都卸载；象限3，y向位移增量向下，两杆都加载；象限2，x向位移增量向左，2杆都加载Hp；1杆卸载E？ * * 原因是进行了一次导数运算，损失了一个数量级的精度。精度由高到底的依次排序是位移－应变（应力）－弯矩－剪力 * 弧长法既不是力加载，也不是位移加载，而是载荷－位移混合加载。 要用公式解释右边图，见bonet书188页。 * 用gamma不断放大外载荷 =22015.456 * * 5 稳定性和连续方法 应用实例 在初始屈曲发生后继续加载，并跟踪结构的变化状态，发现随着加载的过程，在过渡区逐渐出现多处皱褶，在荷载－位移曲线上产生多个极值点，这是屈曲部位逐渐增加的反映。 5 稳定性和连续方法 应用实例 在本例中，对于不同初始几何缺陷，后屈曲载荷相差较小，后继屈曲载荷因子，最大与最小误差小于2％，表明后屈曲载荷对初始缺陷值不敏感。 5 稳定性和连续方法 方法评述 在结构非线性分析中的平衡方程是一个非线性代数方程组，数学上对其求解有多种方法，常用的有增量法、迭代法和混合法。在结构非线性全过程跟踪分析中，当载荷达到极值点附件时，结构的切线刚度矩阵变为奇异。此时，一般的平衡迭代法，会使收敛变得很慢或根本无法收敛。通常用以下几种办法克服这一困难： 位移控制法：位移控制法相对比较容易得到负刚度下的载荷－变形关系，其目的是避免切线刚度矩阵在计算中出现奇异。然而，它应用于单自由度求解比较容易，应用于多自由度或多杆件的结构分析比较困难，需要了解其他方向或杆件的变形性能，而不是通过已知位移来研究结构的性能。而且在处理跃迁式屈曲和随动载荷时比较困难。 5 稳定性和连续方法 方法评述 虚拟弹簧法：为了保持切线刚度矩阵的正定性，在适当的自由度上增加一虚拟弹簧。未加弹簧前，切线刚度矩阵从正定变为非正定，加上弹簧后，切线刚度矩阵将始终保持正定。该方法只适用于加一个假想弹簧的简单结构。 弧长法：作为一种有效的结构非线性分析算法，能有效地克服负刚度引起的求解困难。对于求解极值点或下降段问题具有独到的优势，是目前广泛采用的非线性跟踪算法，具有较好的收敛性，能够有效地跟踪屈曲后的平衡路径。 6 数值稳定性 数值稳定性的定义是类似于系统的解答稳定性的定义。在数值解答中，如果初始数据的小摄动只引起很小的变化，则数值过程是稳定的。更规范地表述是，如果 则数值解答 是稳定的。在上式中C 是一个任意的正常数。能够得到稳定数值解答的算法称为是稳定的。 对于时间积分器的数值稳定性的一般结果在很大程度上基于线性系统的分析。因此，首先建立线性系统的稳定性理论。然后，将这些结果应用于非线性系统。目前尚不存在可以包容非线性问题的稳定性理论，即这些问题可以通过非线性有限元方法编程求解。 数值稳定性属于数值方法的稳定性，而物理稳定性属于模型的结果的稳定性，数值不稳定产生于模型方程的离散化，而物理不稳定是在模型方程解答中的不稳定，与数值离散化无关。 数值稳定性通常只检验物理上是稳定的过程。对于如何‘稳定’表现在物理上不稳定过程的数值过程知之甚少。许多计算是仿真物理的非稳定，如果不能保证我们的方法可以精确跟踪这些非稳定，那么这些仿真的结果令人怀疑。 对于物理上不稳定过程的数值稳定性不可能通过上式检验，即当应用于一个不稳定系统的时候，我们无法评价它的数值过程的稳定性。其原因是如果一个系统是不稳定的，对于系统的结果则将不能满足稳定性条件 ，因此，既便数值解答过程是稳定的，它将不能满足上式。目前的基本观点是研究稳定系统的数值稳定性，然而希望对于稳定系统是稳定的任何算法将适用于不稳定系统。 数值方法稳定性的大多数理论是与线性和线性化系统有关。主要的概念是如果一种数值方法对于线性系统是不稳定的，它对于非线性系统也一定是不稳定的，因为线性系统是非线性系统的子集。幸运的是，上述说法反之成立：对于线性系统稳定的数值方法对于非线性系统的几乎所有情况，其结果也是稳定