专题20 等腰三角形存在性问题巩固练习（基础）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.pdf

等腰三角形存在性问题巩固练习

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝21cm，点P从点B出发沿BC以2cm/s的速度移动到点C；同时，

点Q从点A出发沿AD以1cm/s的速度移动到点D；当点P运动到点C时点Q也随之停止运动，设点P的运

动时间为ts是否存在点P，使△DPQ是等腰三角形？如果存在，求出所有符合条件的t的值；如果不存在，

请说明理由．

【分析】先表示PQ，PD，DQ，再分三种情况讨论计算即可．

【解答】解：如图，过点Q作QE⊥⊥BC，

由题意得，AQ＝t，PE＝BP﹣BE＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，

21

∴DQ＝21﹣t，PC＝21﹣2t，QE＝12，（0＜t≤）

2

222

在Rt△PQE中，PQ＝12+t，

222

在Rt△PCD中，PD＝（21﹣2t）+12，

∵△DPQ是等腰三角形，

2222

①当PQ＝PD时，即：12+t＝（21﹣2t）+12，

∴t＝7或t＝21（舍）；

22

②当PQ＝DQ时，即：12+t＝21﹣t，

此方程无解，

22

③当PD＝DQ时，（21﹣2t）+12＝21﹣t，

∴此方程无解．

即：t＝7时，△DPQ是等腰三角形．

【点评】此题是矩形的性质，主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是表

示PD，DQ，PQ．

2

2．如图，已知抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于A（m，0），B（n，0），点A位于点B的右侧，且m，n是一

2

元二次方程x+2x﹣3＝0的两个根，与y轴交于C（0，3）．在抛物线上的对称轴上是否存在点P，使得△PAC

为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】解方程求得A和B的坐标，求得对称轴，当A是直角顶点时，求得过A于AC垂直的直线与抛物线

的对称轴的交点，然后判断是否是等腰三角形；同理当C是直角顶点时利用相同的方法判断；当AC是等腰

三角形的底边时，求得AC的中垂线与对称轴的交点，然后判断是否是直角三角形即可．

2

【解答】解：解方程x+2x﹣3＝0得x＝﹣3，x＝1，

12

则A的坐标是（1，0），B的坐标是（﹣3，0）．

抛物线的对称轴是x＝﹣1．

k+b=0

设AC的解析式是y＝kx+b，则=3，

k=―3

解得：，

=3

则直线AC的解析式是y＝﹣3x+3．

1

当A是直角顶点时，过A且垂直于AC的直线解析式设是y=x+c，

3

1

把A代入得：+c＝0，

3

1

解得：c=―，

3

11

则解析式是y=x―．