第四章 图形的相似(知识点).doc

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 1 第四章 图形的相似 一．成比例线段 1.线段的比 ※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成. ※2.成比例线段及比例的性质： （1）成比例线段：四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段. ※注意点: ①a:b=k,说明a是b的k倍； ②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数； ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致. （2）比例的基本性质:若, 则ad=bc； 若ad=bc, 则 ※合比性质:如果，那么； ※等比性质：如果（），那么＝ 注意：若没有“b+d+…+n≠0”这个条件，需分类讨论. 二.平行线分线段成比例 ※平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图1，////，则. 推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例.　 定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例.②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 三.黄金分割 如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比， 一条线段有两个黄金分割点.0.618:1； 四．相似多边形 一般地,形状相同的图形称为相似图形. 1.概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 2.性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方. （3）判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似.（两个条件缺一不可） 五．三角形的相似（“∽”不需分类讨论，“相似”需分类讨论） 1.探索三角形相似的条件 ※相似三角形的判定方法: 一般三角形 直角三角形 基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似. ①两角对应相等； ②两边对应成比例,且夹角相等； ③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等； ②两条边对应成比例； a. 两直角边对应成比例； b. 斜边和一直角边对应成比例. 2.相似三角形的判定定理的证明 3.利用相似三角形测高（3种方法） （1）利用太阳光线平行 运用方法1:可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高. 利用标杆 运用方法2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度. 利用反射 运用方法3：光线的入射角等于反射角. 相似三角形的性质 （1）对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比. （2）全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. （3）性质： ①相似三角形对应角相等，对应边成比例； ②相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比； ④相似三角形面积的比等于相似比的平方. ※5.图形的位似： →位似图形的概念： 如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比. →位似图形的性质： （1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质； （2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）. →位似图形的画法： （1）画出基本图形； （2）选取位似中心； （3）根据条件确定对应点，并描出对应点； （4）顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形. 例题：如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长扩大到原来的两倍. 注意：给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似，分别在位似中心同侧和异侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图. →位似变换与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 例如：点A(x,y)的对应点为A′，则A′点的坐标可以这样确定 xA′=xA×k，yA′=yA×k 即A′（kx,ky）或xA′=xA×(-k)，yA′=yA×(-k) 即A′（-kx,