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空气动力学方程：伯努利方程在空气动力学中的应用

1伯努利方程简介

1.1伯努利方程的历史背景

伯努利方程是由瑞士数学家丹尼尔·伯努利（DanielBernoulli）在1738年

提出的，最初是在他的著作《流体力学》（Hydrodynamica）中作为流体动力学

的一个基本原理出现的。丹尼尔·伯努利是伯努利家族的一员，这个家族在数

学和物理学领域有着卓越的贡献。伯努利方程的提出，不仅深化了人们对流体

运动的理解，也对后来的空气动力学、航空工程等领域产生了深远的影响。

1.2伯努利方程的基本原理

伯努利方程描述了在理想流体（无粘性、不可压缩）中，流体的速度、压

力和高度之间的关系。在稳定流动的情况下，流体在任意两点的能量守恒，即

流体的动能、势能和压力能的总和保持不变。伯努利方程可以表示为：

1

2

++ℎ=常数

2

其中：-是流体的压力。-是流体的密度。-是流体的速度。-是重

力加速度。-ℎ是流体的高度。

1.2.1示例：计算不同高度的流体速度

假设我们有一个理想流体在垂直管道中流动，管道的上端开口于大气中，

下端封闭。流体在管道底部的速度为0，压力为大气压。我们可以使用伯努利

方程来计算流体在不同高度的速度。

1.2.1.1数据样例

大气压力=101325Pa

=1000³

流体密度kg/m（假设为水）

重力加速度=9.81m/s²



高度差从0到10m

1.2.1.2代码示例

importmath

#定义常量

P_0=101325#大气压力，单位：Pa

1

rho=1000#流体密度，单位：kg/m³

g=9.81#重力加速度，单位：m/s²

#定义函数计算速度

defcalculate_velocity(height):

根据伯努利方程计算在给定高度的流体速度。

:paramheight:流体的高度，单位：m

:return:流体的速度，单位：m/s

P=P_0-rho*g*height#根据高度计算压力

v=math.sqrt(2*(P_0-P)/rho)#根据伯努利方程计算速度

returnv

#计算不同高度的速度

heights=[0,2,4,6,8,10]

velocities=[calculate_velocity(h)forhinheights]

#输出结果

forh,vinzip(heights,velocities):

print(f在高度{h}m时，流体的速度为{v:.2f}m/s)

1.2.2解释

在这个示例中，我们首先定义了大气压力、流体密度和重力加速度的值。

然后，我们创建了一个函数calculate_velocity，它根据伯努利方程计算在给定高

度的流体速度。我们假设流体在管道底部的速度为0，因此，随着高度的增加，

流体的压力会减小，而速度会增加。最后，我们计算了从0到10m的不同高度

的流体速度，并输出了结果。

通过这个示例，我们可以直观地看到伯努利方程在实际问题中的应用，以

及如何通过数学计算来预测流体在不同条件下的行为。伯努利方程在空气动力

学中同样重要，它帮助我们理解飞机机翼的升力、风洞实验中的流体动力学现

象等。

2伯努利方程的数学表达

2.1伯努利方程的推导过程

伯努利方程是流体力学中的一个基本方程，它描述了在理想流体（无粘性、

不可压缩）中，流体的速度、压力和高度之间的关系。下面，我们通过能量守

恒的原理来推导伯努利方程。

假设流体在管道中流动，管道的截面积在不同位置发生变化，流体的速度

和压力也随之变化。我们选取管道中的一段流体作为研究对象，假设流体在