重庆市名校联盟2024-2025学年高三下学期第一次联合考试数学试卷_1.docx

重庆市名校联盟2024-2025学年度第二期第一次联合考试

数学试卷（高2025届）

本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟．

注意事项：

1．作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上．

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效．

3．考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，集合，则（）

A. B. C. D.

2.在复平面内，对应的点位于（）．

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知向量，，且，则实数（）

A. B. C.5 D.10

4.某地区2024年全年月平均温度（单位：℃）与月份之间近似满足.已知该地区2月份的月平均温度为℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（）

A.℃ B.℃ C.℃ D.℃

5.已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（）

A. B.2 C. D.

6.在正方体中，是棱上的点，且．平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则（）

A. B. C. D.

7.已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（）

A. B. C. D.

8.定义双曲正弦函数：.若双曲正弦函数在区间上的值域与在区间上的值域相同，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则（）

A B.

C.为等腰三角形 D.以MN为直径的圆与l相切

10.已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（）

A. B.的图象关于点对称

C.是周期为的周期函数 D.

11.对于任意两个正数，，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（）

A. B.

C. D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知正实数满足，则______.

13.已知成对样本数据，，…，中，，…，不全相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数r=______，其决定系数=______．

14.已知直线与⊙：交于A，B两点，写出满足“面积为”的实数的一个值______（写出其中一个即可）

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知等差数列满足：，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：；

16.已知函数.

（1）若时，求曲线在处的切线方程；

（2）若时，在区间上的最小值为，求实数的值.

17.已知三棱锥，D在平面上的射影为的重心O，，.

（1）证明：；

（2）E为AD上靠近A的三等分点，若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．

18.如图所示，在研究某种粒子实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室?室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为.

（1）已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求；

（2）求分布列和数学期望；

（3）设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率.

19.如图，已知面积为矩形，与坐标轴的交点是椭圆：的四个顶点，且该椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）为坐标原点，过下顶点的直线与轴相交于点（不同于），与直线相交于点，与椭圆相交于点，直线与直线相交于点.

（i）证明：；

（ii）设线段中点为为椭圆上的两点，且直线，与椭圆都仅有一个公共点，，垂足为.探究：是否存在定点，使得为定值?若存在，求点的坐标以及此定值；若不存在，请说明理由.

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