数列通项公式的求解策略..doc

数列通项公式问题的求解策略 湖南省衡阳市八中张贤华 邮编421007 数列问题是近年来高考中的热点问题，求数列通项公式问题又是数列问题中的重头戏.本文试图对高考中这一类问题的常见题型与解题策略作一个比较完整的归纳. 1．常见题型与解法 1.1.已知递推公式求通项公式 例1.(2000全国卷)设是首项为1的正项数列，且 （=1，2，3，…），则它的通项公式是=________. 解法一（迭乘）：将已知条件转化为,于是有，，……, .将上述n-1个等式左右两边分别相乘得, 故有. 解法二（迭代): 将已知条件转化为,于是有 解法三（配凑成基本数列):化已知条件为,从而得数列{nan}为常数数列(视为等差、等比数列的特例),故,所以. 解法四（猜想):利用递推公式写出数列前几项为1,,猜想通项公式为(填空题当然无须用数学归纳法证明). 例2.(2005重庆卷)数列{an}满足a1?1且8an?1an?16an?1?2an?5?0 (n≥1).记 (n≥1). (1) 求b1、b2、b3、b4的值；(2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn. 解法一（配凑成基本数列）： （1）由 整理得 （2）由， 所以, ∴（以下略） 解法二（配凑成基本数列及迭加）： （1）同解法一 （2）由,得,将上述两式左右两边分别相减得 , 又,故数列{}是以为首项,以2为公比的等比数列. ∴=,故有,将上述 n-1个式子左右两边分别相加得, ∴.(以下略) 解法三（迭加): （1）同解法一 （2）由两边同除以得即有 ,以下用迭加法易求出数列{}的通项公式,从而可得数列{}的通项公式.具体过程略. 说明:本题在整理出数列{}的递推公式后，也可以采用迭代或用猜想+数学归纳法证明求出其通项公式. 例3. (2003天津卷)设为常数，且.(1)证明对任意≥1，.(2)略 （1）证法一(数学归纳法)： （i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立； （ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则 那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈，等式成立. 证法二（配凑成基本数列）：如果设 将代入，可解出. 故已知条件可化为 又, ①当时,易证结论成立. ②当时,数列{}是以为首项,以-2为公比的等比数列, ∴=(),故=()+.(以下略) 证法三（迭加）：由两边同除以得， ∴，以下由迭加法易求出数列{}的通项公式,从 而可得数列{}的通项公式.具体过程略. 1.2.根据已知条件构造递推公式求通项公式 例4. (2005广东卷）设平面内有ｎ条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用表示这ｎ条直线交点的个数，则=_________；当ｎ＞４时，＝_________． 分析：由题直接得到通项公式较困难，但据已知条件可先求出数列{}的递推公式，然后再由递推公式求通项公式. 解法一（猜想）：若平面内有ｎ条满足条件的直线（n≥3），它们的交点数为，现增加一条满足条件的直线，与前面n条直线有n个交点，且这n个交点与前面已有的个交点互不重合，故这n+1条直线的交点个数为=，由于故有 猜想当ｎ＞４时，＝2+3+4+5+. 解法二（迭加或迭代）：同解法一得到=（n≥3），故有，于是可以采用迭加法或迭代法求通项公式，具体过程略. 解法三（配凑成基本数列）：同解法一得到=，令，将=代入可解得A=，B=,故数列{}的递推公式可化为，从而知数列{}（n≥3）为常数列，由于,故有=-1， ∴. 1.3.已知前n项和公式求通项公式 例5.(2005湖北卷）设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）略. 解：当 故{an}的通项公式为.(以下略) 1.4.已知关于Sn的递推公式求通项公式 例6.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足 Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式. 解法一（迭加得前n项和公式然后求得通项公式）：先考虑偶数项有： ……… 同理考虑奇数项有： ……… 综合可得 解法二（消去转化为递推公式再求通项公式）： 因为 以下可完全类比例3的各种解法，请读者自己推导通项公式. 1.5.已知关于an与Sn的关系式求通项公式 例7.（2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求（1）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；（2）略. 解法一（消去转化为递推公式再求通项公式）： （I）由（n≥1)，得（n≥2）