初中数学培优专题之——一元二次方程与二次函数的关系.doc

初中数学培优专题之—： 一元二次方程与二次函数的关系 （作者：顾厚春，江苏省兴化市板桥初级中学，邮编：225700，QQ：646002269，手机 方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程（组）解决函数问题，也可以利用函数解决方程（组）问题.我们知道，二次函数的一般形式是，而一元二次方程的一般形式是.显然当二次函数中时就能得到一元二次方程，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系. 一、知识链接 透彻理解数学概念，提升你的数学内涵 ！ 1.利用一元二次方程解决二次函数问题： （1）对于二次函数来说，当时，就得一元二次方程，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程的取值与二次函数图像与轴的交点坐标的情况之间的关系： ①当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点； ②当时，一元二次方程有两个相等的实数根，抛物线与轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）； ③当时，一元二次方程没有实数根，抛物线与轴没有交点（抛物线要不全部在轴上方，要不全部在轴下方）. (2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与轴交点横坐标的有关求值问题： 当一元二次方程有两个不相等的实数根、时，抛物线与轴交于两点A(,0)、B(,0)，此时有，·.此时抛物线与轴两交点的距离为： AB==（公式①）. （3）推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与与直线（当时为一次函数的图像，当时为平行于轴或与轴重合的一条直线）的交点情况. 2.利用二次函数解决一元二次方程问题 一方面，反过来，我们可以根据抛物线与x轴的交点情况去判断一元二次方程的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题. 二、典例精讲 参与数学解题过程，品味数学内在魅力 ！ 例1 （2010年福州市中考题）已知二次函数的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( ) A．a＞0 B．c＜0 C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＞0 分析：a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点情况，抛物线的对称轴由a、b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．本题中，由于抛物线开口方向向下，因此a＜0；抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方，因此c＞0；由于抛物线对称轴在y轴右侧，所以x=－＞0，所以b＞0；由于抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0．a＋b＋c是x＝1时的函数值，而图像上点（1，a＋b＋c）在x轴上方，所以a＋b＋c＞0． 答案：D． 技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题．解决这类问题就应熟练掌握a、b、c、x＝－、a＋b＋c、b2－4ac等与抛物线的位置特征之间的关系． 例2 （2010年徐州市中考题）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ） A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位 C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位 分析：因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x轴交于点（2008，0）和（2009，0），这两点间的距离为1，而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到． 答案：B． 技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点（2009，4）、（2008，4），这两点的距离围为1，要将这两点平移到x轴上，应将图像向下平移4个单位．研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析． 例3 （2010年镇江市中考题）已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最 大值为 . 分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x2＋3x＋y－3＝0得，x＋y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，所以当x＝－1时，x＋y最大值为4；也可以尝试用换元法解决，设，则原方程可化为，因为这个关于必有实数根，所以，解得，所以（即x＋y）的最大值为4. 答案：4. 技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于x的二次方程，也是关于y的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“x＋y”关于x的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于x的一元二次方程的参数的取值范围问题来解决，有异曲同工之效． 例4 （2010年日照市中考题）如图10-2，是二次函数y＝a