曲面论(二).pdf

微分几何教案（十） 1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 1.3 曲面上的曲线族和曲线网 1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 一 光滑曲面,正常点,正规坐标网 1 Ck 类曲面: 如果曲面的分量函数有直到 k 阶的连续偏导数,则 称为k 阶正则曲面或称为Ck 类曲面. 2 光滑曲面:C1 类曲面叫做光滑曲面. 以后假定讨论的曲面都是光 滑曲面. 3 正常点: 对曲面 S 上一点P (u ,v ) P   0 0 0 ,过 的u- 曲线:r r (u, v ) , 0 0    r (u , v ) P r r (u , v) 其切向量为 u 0 0 , 过 的 v- 曲线: 0 , 其切向量为 0     r (u , v ) r r 0 P v 0 0 ，如果 u v ,则称 为正常点,或正则点。以后我们只 0 讨论曲面的正常点。曲面上的点如果都是正常点，则曲面叫做正则曲 面. 在球面的参数方程中,   是球面的不正常点。因球面上点都是 2 一样的,所以一个点是否为正常点与参数的选取或坐标系的选取有关 系. 4 正规坐标网   因为曲面是光滑的,所以r , r 都连续, 故在曲面 S 的正常点 u v    的某个邻域U 内,都有r r 0 。这样在U 对应的这片曲面上的每 u v 一点有唯一的一条u-线和唯一的一条 v-线，而且这两族曲线不相切. 这样的两族曲线叫做曲面上的正规坐标网. 5 命题 1 在曲面的正常点的邻域内，曲面的参数方程总可以写 成z=z(x,y) （或x=(y,z) 或y=y(x,z) ）。 4 微分几何教案（十） 1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 1.3 曲面上的曲线族和曲线网 x y z     u u u  证明 因在正常点的邻域内 r r 0 ，所以 的秩 u v x y z 