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微分几何教案（十一） 曲面的第一基本形式： 2.1--2.3 §2 曲面的第一基本形式 2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长     给出曲面 S: r r (u, v) 上的曲线(C):u=u(t),v=v(t)或r r (u(t),v(t)) 。      du  dv r t r r dr r du r dv 对于曲线(C)有 ( ) u v 或 u v ，若以 S 表示曲面 dt dt 2  2   2 2 2  2 2 上曲线的弧长，则有ds (dr ) (r du r dv) r du 2r r dudv r dv 。 u v u u v v    ds2 Edu2 2Fdudv Gdv2 令E r r , F r r ,G r r ，则 ，这个二次 u u u v v v 形式决定曲面上曲线(C)的弧长，曲线(C)上两点A(t )、B (t ) 之间的弧长 0 1 t1 du 2 du dv dv 2 是 s t E ( ) 2F G ( ) dt 0 dt dt dt dt Edu 2 2Fdudv Gdv 2 是关于 du,dv 的二次形式，称为 S 的第一基本形 2 2     Edu 2Fdudv Gdv E r r , F r r , 式，用 表示，即 = ，它的系数 u u u v  G r r 叫做曲面的第一类基本量。 v v        说明 因为 E r r 0,G r r 0 ，EG F 2 r 2r 2 (r r )2 (r r )2 0 u u v v u v u v u v 因此第一基本形式是正定的。 例 1 求曲面 z = z(x,y) 的第一基本形式。