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基础物理中的数学方法第一章初等函数的极限和微分§1.1初等函数数理难以分家，是一棵苗上的两瓣叶片。数学课不仅仅是工具课，是科学思维训练。学习物理需要数学工具，此处只解决工具问题。王竹溪、彭桓武、林家翘的榜样。。。1.1.1函数的概念在物理过程中，一些物理量之间有由物理规律决定的关系---函数。例如：自由落体高度随时间的变化自变量t，因变量h时间随高度的变化自变量h，因变量t多个自变量的函数叫做多元函数，例一元函数自变量为实数的函数叫实变函数；为复数的函数叫复变函数。1.1.2常用的初等函数，（常数）一般形式是多项式，上式只给出其中一项的函数式，幂函数的一种特殊形式是n=0的情况，即（1）幂函数n可为正、负、整、分数；这些函数，以及其经过有限次四则运算与复合步骤所构成的函数，统称为初等函数。（a，n为常数） 例如：交流电的电压为（2）三角函数和反三角函数在x轴上以原点为中心的简谐振动为（3）以e为底的指数函数和对数函数1.1.3欧拉恒等式，借助复数来简化运算过程01（常数） 02复数z可以用两个实数a和b来表示03z的共轭复数记作z*04在平面直角坐标系中，又可表示为05：复数的模06：辐角07Z与z*的模相等，辐角的符号相反。08是模为1的复数。高等数学可以证明1这就是欧拉恒等式。由上两式解得2欧拉恒等式的另一种表示式。3欧拉恒等式把指数函数和三角函数联系起来，使三角函数的运算简化。4解对两边同时作立方运算得将上式的指数函数用三角函数表示，并展开两边得根据复数的运算规则，两复数相等必是实部和虚部分别相等，故有例2三角函数试变换为三角函数和差的形式。再将上式右边的指数用三角函数表示得解将三角函数用指数表示得例1导出正弦和余弦函数的三倍角公式。1.1.4双曲函数此式与三角函数的基本公式相似，三角函数，也可视为双曲函数的特例由双曲函数的定义式知欧拉公式实质是揭示三角函数和指数函数的关系，也说明两种函数有相同的运算规则。由此想到，可依照欧拉公式定义一套广义的三角函数，叫做双曲函数。双曲正弦和双曲余弦函数的定义是还可以证明实际上，若以jx代替定义式中的x即得1.2极限1.2.1直观的极限概念和无穷小量1极限是重要的基本概念。由简单物理过程，得到某些直观印象。2考虑一个交流电路和波动中常用的函数3在x=0时，分子和分母都是零，这分式没有直观意义了。但可以研究4x由正值和负值向零无限趋近时，函数的特点。5作一半径为1的单位圆（图），6x是圆心角，7因8所以9因在附近，的符号相同，得或将上述不等式除以上式说明y在x趋于0的过程中保持不大于1,但又不小于cosx但在x无限趋于零时，cosx无限趋近于1，故y必趋于1，记为在x趋近于零时sinx随之趋于零。在这种情况下x和sinx是绝对值很小的变量，因而上面给出的分式也是有意义的。这类变量的特点是：它的绝对值小于任何给定的正数，叫做无穷小量.无穷小量的两个性质：有限个无穷小量的和是无穷小量；有界量与无穷小量的积是无穷小量。无穷小量就是以0为极限的变量在自变量x与某一指定值a的差为无穷小量时，函数f(x)与数A的差也为无穷小量，则A是在x趋于a时的极限，记为1.2.2极限的运算规则有些初等函数求极限的运算，可依据对函数的理解和直观判断得到。例如一些较复杂情况，还须依据规则进行运算。常用的运算规则是：，一个有极限的函数与常数积的极限，等于该函数的极限与常数之积。如若a为常数，则有限个有极限的函数的积（商）的极限，等于它们极限的积（商）。例1求1解由和差化积公式得2变为求两个极限的积。在上式中，第一个函数的极限已给出，故有3有限个有极限的函数的和（差）的极限等于它们极限的和（差）。4例2求解:利用二项式公式得例3求解：在上面的两例中x也是一个独立的变量。但在求极限的过程中，只是作趋于零的变化。因此，在作这种运算时，x是视为不变的。1.2.3无穷小量的比较以上例题，都求两个无穷小量的比值的极限。这种极限可以理解为两个无穷小量大小的比。如果两个无穷小量之比是不为0的有界量，则这两个无穷小量是同阶的无穷小量。sinx与x是同阶无穷小量。且因这两个无穷小量的例如在