利用期望与方差的性质求期望或方差.ppt

2015利用期望与方差的性质求期望或方差

E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)E(Y).数学期望的性质?E(aX)=aE(X)??E(C)=C?当X,Y相互独立时，?性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互独立.反例XYpij-101-1010p?jpi?注XYP-101但若X≥0，且EX存在，则EX≥0。推论:若X≤Y，则EX≤EY。所以?证明：设X为连续型，密度函数为f(x),则由X≥0得：证明：由已知Y-X≥0，则E(Y-X)≥0。而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)≤E(Y)。?123456性质4例1.设X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y相互独立，求E(3X＋2XY－Y＋5)。解：性质2和3由已知，有E(X)＝10,E(Y)＝3.例2.(二项分布B(n,p))设单次实验成功的概率是p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？因此，这里，X～B(n,p)。解:引入则X＝X1+X2+…+Xn是n次试验中的成功次数。例3.将4个可区分的球随机地放入4个盒子中,每盒容纳的球数无限,求空着的盒子数的数学期望.解一:设X为空着的盒子数,则X的概率分布为XP0123解二:再引入Xi,i=1,2,3,4.XiP10刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度。若X的取值比较集中，则方差较小；Var(X)=E[X-E(X)]2方差若X的取值比较分散，则方差较大.0201030405Var(X)?0，即方差是一个非负实数。当X服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X)。方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征。注意：01常用的公式：02证明:方差的计算公式2015