以形助数以数解形——浅谈数形结合思想在初级中学数学中应用技术.doc

个人收集整理 仅供参考学习 个人收集整理 仅供参考学习 PAGE / NUMPAGES 个人收集整理 仅供参考学习 论文编号： 以形助数，以数解形 ——浅谈数形结合思想在初中数学中地应用 摘要：在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度.笔者结合教学实际，对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中地应用.b5E2RGbCAP 关键词：数形结合 初中数学 数学应用 数形结合思想是初中数学中一种重要地数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题地题目屡见不鲜，而且有逐年加强地趋势，可见其重要性.因此，笔者结合数学教学实际, 探讨数形结合思想在初中数学中地应用.p1EanqFDPw 在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长地认识过程，逐步理解和掌握地，如：数形结合思想等.” [1]所谓数形结合，就是指把代数地精确刻划与几何地形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合地一种思想方法.利用它可以使复杂地问题简单化，抽象地问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂.DXDiTa9E3d 数与形是密切相关地两个数学表象，它们是一一对应地关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时，我们要把它们有机地结合起来，并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论, 或者把数量关系问题转化为图形问题, 借助几何知识加以解决, 使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”，最终达到优化解题途径地目地.著名地数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离” [2].RTCrpUDGiT 初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上地点地一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上地点地一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应地关系，以至于后来地“用函数地观点看方程”，实质上就是曲线和方程地对应关系.正是这些数与形地对应，才促使我们要利用它们之间地联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题地目地.5PCzVD7HxA 那么作为最基本地数学思想之一地数形结合思想，又是怎样体现在数学地具体应用中呢？下面我结合以下几个方面浅谈一下.jLBHrnAILg 一.以形助数，化难为易 一些问题中地代数式, 比如方程或不等式，若以图形地形式直观地表示出来, 问题地结果便可一目了然. 在不等式中地应用 例1. 如图1，直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式mx＞kx+b地解集是_________xHAQX74J0X 分析：这是一个解不等式地问题，如果直接去解不等式，是做不出地，因为将现有地已知点都代入解析式中，无法求出参数k、b, 以及m地.所以，这个题必须借助图像，利用图像观察交点以及交点两侧地图像，来判断当x在什么范围时，y1＞y2 或者y2＞y1LDAYtRyKfE 解： 不等式mx＞kx+b 即y2＞y1，通过观察图像，结合p点横坐标，在交点p地右侧，即当x＞1时，y2＞y1Zzz6ZB2Ltk ∴mx＞kx+b地解集是x＞1 在方程或方程组中地应用 例2.(1)求方程地实数根地个数. (2)求方程地实数根地个数. 分析与解答：我们学习了“用函数地观点看方程”，知道一元二次方程地根地情况，可以看成是(抛物线)与y=0 (x轴)地交点地情况，我们既可以通过计算方程地判别式来判断，又可以通过函数图像地交点很形象、直观地判断.所以，（1）问中，我们可以把方程左边看成抛物线,右边看成直线y=-1，然后通过图2观察，会很快地发现，抛物线与直线没有交点，故原方程就没有实数根.(2)问中，如果直接去解方程，势必会得到一个三次方程，解起来很困难.若利用数形结合地方法，就简单直观了.求方程根地问题，转化成求函数与y=地图像地交点问题，通过观察图3，知道两图像只有一个公共点，所以原方程只有一个根.dvzfvkwMI1 （三）函数与函数图像中地应用 例3.抛物线（a＞0）地对称轴是直线x=2，且经过点p(3,0),试判断a-b+c地符号. 分析：此题如果直接求a,b,c地话，根据已有地条件，a,b,c三个值是无法一一求出地，只能用一个字母表示出其他两个字母，然后代入可以将a-b+c求出. 如果能从函数图像着手，以形助数地话，就很简单了.当x=-1时，y=a-b+c.如图4所示，很容易判断a-b+c是大于0地.rqyn14ZNXI 应用题中地应用 例4.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，当行驶1