应用PDE讲义13_扩散方程差分解.pdf

        应用偏微分方程与科学计算  讲义（十三）  Lecture Notes on   Applied Partial Differential Equations and  Scientific Computing  No. 13    马 石 庄            2010．11．01 ．北京      1      第13 讲 发展问题差分近似：扩散方程    教学目的：研究一维扩散方程的有限差分的完全离散和半离散格式， 讨论差分格式的经济实用性，建立稳定性分析方法，探讨半离散格式 的刚性问题解法。  主要内容：  §1 线上方法  3  1.1  “刚性”问题  6  1.2 从Euler 方法出发  9  1.3 稳定性  14  §2 完全差分格式  19  2.1 区域网格  19  2.2 连续算子离散化  21  2.3 格式的经济实用性  24  §3 Fourier 稳定性分析  28  2.1 离散方程的特解  28  3.2 解析解与离散解的比较  32  3.3 Von Neumann 分析  34  附录：发展问题，电子计算机和计算方法  37  习题13  39    2      上一讲主要讨论椭圆型方程的有限差分法，位势（椭圆型）方程 描写的状态（如温度、电位等）不随时间 改变，称为驻定问题；现 在开始讨论与时间 有关的发展问题：扩散（抛物型）方程和波动（双 曲型）方程．驻定问题可看成是某一发展问题当 ∞的渐近状态， 所以，当用渐近方法（例如迭代法）求解验定问题时，只关心最终状 态，而不管瞬时状态或中间过程；相反发展问题的瞬时状态有物理意 义，需要在考虑偏微分方程的数值解法时，要注意到这两类问题的这 些联系和区别。  发展方程是常微分方程初值问题的自然的推广，常微分方程的确 也能看成是没有空间变化的发展方程。常微分方程与发展方程在数值 处理方面有许多相似之处，事实上计算后者最有效的方法之一就是把 发展问题的偏微分方程近似转化为一个常微分方程组。但是必须注意， 这种相似不总是靠得住的，数值求解发展偏微分方程要在空间和时间 上离散，一个成功的算法中这两个过程不是独立发展的。发展偏微分 方程的那些数值分析比起常微分方程来说，更复杂也更微妙。  §1 线上方法  扩散方程属于发展方程的一种，介乎位势方程和波动方程之间， 比较适合发展一种半离散化方法，即先把偏微分方程转化为大规模常 微分方程，然后再对常微分方程组的初值问题求解。以齐次扩散方程 的混合问题  3    0， 0 ，1， 0