第一轮复习风向标导数及其运用.doc

第五章 导数及其运用 知识网络 第1讲 导数的概念及运算 ★ 知 识 梳理 ★ 1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率.（3）取极限，得导数（x0）=. 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处 的 解析：斜率.；瞬时速度. 3. 几种常见函数的导数（为常数）（） ； ； ； ； ；. 解析： 4.运算法则 ①求导数的四则运算法则： ； . 解析：； ②复合函数的求导法则：或 与,当时,平均增长率的大小. 点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是 (1)计算自变量的改变量 (2)计算对应函数值的改变量 (3)计算平均增长率: 对于,又对于, 故当时, 的平均增长率大于的平均增长率. （2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则, 问题2. 已知,则 . 点拨：复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:. 设,,则 . （3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。 问题3. 求在点和处的切线方程在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值； 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．，看作曲线上的点用导数求解。 即过点的切线的斜率为4，故切线为： 设过点的切线的切点为，又， 故，。 即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为： ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1: 导数概念例在处可导，则等于 　　A． B． C． D． .故选 【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式 考点2.求曲线的切线方程 [例2](高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数的图象在点P处的切线方程是 ，则= . 【解题思路】区分过曲线处的切线与过点的切线的不同，后者的点不一定在曲线上. 解析:观察图形,设,过P点的切线方程为 即 它与重合,比较系数知: 故=2 【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标． 在点处的瞬时变化率 [例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的加速度. 【解题思路】计算连续函数在点处的瞬时变化率实际上就是在点处的导数. 解析：加速度v= (10+Δt)=10 m/s. ∴加速度v=2t=2×5=10 m/s. 【名师指引】计算连续函数在点处的瞬时变化率的基本步骤是 1. 计算 2. 计算 【新题导练】. 1. 曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 . 解析：曲线和在它们的交点两条切线－－与轴所围成的三角形的面积是，则在t=1s时的瞬时速度为 （ ） A．－1 B．－3 C．7 D．13 解:B 点拨:计算即可 3. 已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程. 解：设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,－(x2－2)2) 对于C1：y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为 y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12 ① 对于C2：y′=－2(x－2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4 ② ∵两切线重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0 ∴直线l方程为y=0或y=4x－4 点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率. 考点2 导数的运算例（1） 　 （2）　 　（3） （1） （3）复合函数的求导法分解求导回代的导数容易求错，但的导数不易求错. 题型2:求导运算后求切线方程 例2. (广州市2008届二月月考)已知函数 （1）若，点P为曲线上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a. 【解题思路】先按运算法则求导,再