在图像处理中广泛应用二维正交变换.PPT

　第三章??????????? 图像变换 3．1 概述 一、图像处理可用线性系统描述 其输入与输出图像的关系： 　　二、? 图像处理的方法 　1．?直接处理----阵列运算（线性代数） 　2．?间接处理---图像变换 　　条件：1）变换是可逆的； 2）算法不复杂 　　优点：1）运算速度快（快速算法） 　　　　　2）便于二维数字滤波处理 　 　3．在图像处理中广泛应用二维正交变换： 　　利用某些正交变换可以从图像中提取一些特征： 　如付氏变换后平均值（即直流项）正比于图像灰度值的平均值，高频分量则表明图像中目标边缘的强度及方向； 　 在变换的基础上，便于完成图像的变换编码。变换后的能量不变，但其分布会有变化，往往集中到少数一些项上，有利于存储和传输。 3．2 图像的线性运算 3．2．1 二维连续线性系统 　设输入　　　，输出　　　，二维线性系统映射为　　，则 　　1． 线性叠加原理 其中a,b为常数 2．二维狄拉克（Dirac）冲激函数 具有性质： 1） 2）　　　　　　　　　 ，　为任意小的正数 3）筛选性 4）分解性 　　二维冲激函数可分解为二个沿正交坐标定义的一维冲激函数的乘积 5) 3．二维冲激响应函数h(x,y) －点扩展函数（PSF） 　　　 由于h(x,y)是当系统的输入为 函数或点光源时系统的输出，是对点光源的响应，因此称为点扩展函数。质量差的图像传输系统h(x,y)的作用将把图像中的一点弥散开来。 4．空间不变性 当输入的单位脉冲函数延迟了 单位后， 即对应于x,y平面中 处的点源 , 其响应满足 则该系统称为空间不变系统。 物理意义：输出仅在x,y方向移动了 单位， 函数形状不变。 5．卷积 对于二维线性位移不变系统，如果输入 ， 输出 , 则 由卷积积分的对称性，也可写成： 6．相关 1）??函数 的自相关函数 定义： 2）二个函数 和 的互相关函数 定义： 3．2．2 二维连续Fourier变换 一、一维Fourier ： 1．实变量函数f(x)是连续可积的， 即: ，且 是可积的， Fourier变换对一定存在： 其中　u ----频率 2．一维Fourier变换的复数形式 则 一维Fourier谱（幅值） 相角 能量谱（功率谱） 3．典型例子------门函数（矩形） 二、二维连续Fourier变换 条件： 是连续可积的，即 ，且 是可积的，Fourier变换对一定存在： 变换的复数形式 二维谱（幅值） 相角 能量谱（功率谱） 例子------二维矩形体函数 以上推导利用了尤拉公式： 　再具体分析下面的付氏变换： 　上式表明：图像　　　可以看成是由无数正弦和余弦函数加权求和得到，加权因子为　　。 　3．3 二维离散Fourier变换及其性质 　　　前节所分析的二维信号是在X轴和Y轴两个方向上空间连续的信号。然而，图像处理的信号往往不是这样的信号。常见的电视信号只在625条扫描行上才有取值，也就是说，该信号在Y轴方向上是离散的。为了得到二维离散信号，还要再在水平方向上抽样。 　一、一维DFT 　离散---对连续函数　　的采样，采样间隔　，采样点数　，则离散函数　　　　　 　式中 　一维DFT对： 说明几个概念： 1）　和　 都是离散序列。 表示取自相应连续函数的任意N个等间隔抽样值； ，当 的值对应于在 处的连续变换的抽样值。 2）频域采样间隔 与空域采样间隔 的关系： 3）DFT总是存在的，不必考虑连续FT的绝对可积条件。 4）DFT的 和 都是周期性函数（周期为N）。在实际应用中，取一个周期，则 和 是有限长度N的序列。 二、二维DFT 由一维推广： 若M=N讨论时： 其中： 说明： 　1） 和 都是离散值，且是周期性函数（二维锥体，周