概论课后习题集.doc

习题二 当y0时， 故 (2) 当y≤1时 当y1时 故 (3) 当y≤0时 当y0时 故 31.设随机变量X~U（0,1），试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=?2lnX的分布函数及密度函数. 【解】（1） 故 当时 当1ye时 当y≥e时 即分布函数 故Y的密度函数为 （2） 由P（0X1）=1知 当z≤0时， 当z0时， 即分布函数 故Z的密度函数为 32.设随机变量X的密度函数为 f(x)= 试求Y=sinX的密度函数. 【解】 当y≤0时， 当0y1时， 当y≥1时， 故Y的密度函数为 习题四 16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】设. 同理E(Y)=0. 而 , 由此得,故X与Y不相关. 下面讨论独立性，当|x|≤1时， 当|y|≤1时，. 显然 故X和Y不是相互独立的. 17.设随机变量（X，Y）的分布律为 ??1 0 1 ??1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表 X ??1 0 1 Y ??1 0 1 P XY ??1 0 1 P  由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的. 又 从而X与Y不是相互独立的. 18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY. 【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为题18图 从而 同理 而 所以 . 从而 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P{10X18}. 【解】设表每次掷的点数，则 从而 又X1,X2,X3,X4独立同分布. 从而 所以 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？ 【解】令 而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且 X1，X2，…，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8. 现要求n,使得 即 由中心极限定理得 整理得查表 n≥268.96, 故取n=269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B（200，0.7）, 查表知 ,m=151. 所以供电能151×15=2265（单位）. 4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vk（k=1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V=，求P{V＞105}的近似值. 【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量 于是 即有 P{V105}≈0.348 5. 有一批建筑房屋用的