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反比例函数的定义与特点复习

课程目标1理解定义深入理解反比例函数的概念，明确其数学表达式及比例系数的意义。2掌握性质熟练掌握反比例函数的定义域、值域、单调性与对称性等重要性质。3图像特征熟悉反比例函数的图像特征，如双曲线的形状、渐近线及对称性等。解决问题

反比例函数的定义反比例函数是一种重要的函数类型，其基本形式为y=k/x(k≠0)，其中k是一个非零常数，被称为比例系数。在这个函数关系中，x作为自变量，y作为因变量，它们的乘积始终保持不变，即等于比例系数k。理解反比例函数的定义，是掌握其性质和应用的基础。同学们要牢记其形式和特点。基本形式y=k/x(k≠0)比例系数k为比例系数变量关系x为自变量，y为因变量

反比例函数的表达式除了最常见的形式y=k/x之外，反比例函数还可以表示为其他等价的形式，例如xy=k或y=kx^(-1)。这些表达式都强调了自变量x和因变量y之间的反比例关系，即它们的乘积是一个常数。掌握这些不同的表达形式有助于我们从不同的角度理解反比例函数，并灵活应用于解决各类问题。同学们要灵活运用这些形式。形式一y=k/x形式二xy=k形式三y=kx^(-1)

反比例函数的定义域和值域由于反比例函数的表达式中包含分母x，因此x不能为0，否则函数无意义。因此，反比例函数的定义域为x≠0的所有实数。同样，由于y=k/x，且k≠0，所以y也不能为0，因此反比例函数的值域为y≠0的所有实数。理解定义域和值域，有助于我们正确理解函数的图像和性质。定义域x≠0的所有实数值域y≠0的所有实数

反比例函数的性质（一）当比例系数k0时，随着x的增大，y减小；随着x的减小，y增大。此时，x和y成反比例关系。而当k0时，随着x的增大，y增大；随着x的减小，y减小。此时，x和y实际上成正比例关系，但仍然符合反比例函数的定义。注意k的正负对函数性质的影响。k0x和y成反比例k0x和y成正比例

反比例函数的性质（二）当k0时，反比例函数的图像位于第一象限和第三象限；当k0时，反比例函数的图像位于第二象限和第四象限。这是由x和y的符号决定的。例如，当k0时，x和y同号，所以图像位于第一、三象限；当k0时，x和y异号，所以图像位于第二、四象限。k0图像在第一、三象限k0图像在第二、四象限

反比例函数的图像反比例函数的图像是一条双曲线，它关于原点对称，并且不与坐标轴相交。双曲线的两支分别位于第一、三象限（当k0时）或第二、四象限（当k0时）。双曲线无限接近x轴和y轴，但永远不会与它们相交，因为x和y都不能为0。1形状双曲线2对称性关于原点对称3交点不与坐标轴相交

反比例函数图像的特点（一）反比例函数的图像具有一些独特的特点。首先，它无限接近x轴和y轴，但永不与坐标轴相交，这是因为x和y都不能为0。其次，双曲线关于y=x和y=-x这两条直线对称，这意味着如果(a,b)是双曲线上的一点，那么(b,a)和(-a,-b)也是双曲线上的点。1渐近性无限接近x轴和y轴2不相交永不与坐标轴相交3轴对称关于y=x和y=-x对称

反比例函数图像的特点（二）比例系数|k|的大小决定了双曲线离坐标轴的远近。|k|越大，双曲线离坐标轴越远；|k|越小，双曲线离坐标轴越近。如果两个反比例函数的k值相等，那么它们的图像是重合的；如果k值不等，那么它们的图像不相交。理解这些特点有助于我们更好地掌握反比例函数的图像性质。|k|越大曲线离坐标轴越远k值相等图像重合k值不等图像不相交

比例系数k的几何意义比例系数k具有重要的几何意义。在反比例函数的图像上，任意一点到两坐标轴的距离的乘积等于|k|。这说明|k|表示曲线与坐标轴围成的矩形面积。因此，通过|k|的大小，我们可以直观地了解双曲线的“胖瘦”程度，即双曲线离坐标轴的远近。1距离乘积等于|k|2面积矩形面积

反比例函数的单调性反比例函数的单调性取决于比例系数k的符号。当k0时，在x0和x0上，函数都是减函数，即x增大，y减小。当k0时，在x0和x0上，函数都是增函数，即x增大，y增大。注意，反比例函数在整个定义域内不具有单调性，只能在x0和x0上分别讨论。k0在x0和x0上都是减函数k0在x0和x0上都是增函数