一元二次方程的判别式和根与系数的关系.doc.doc

第二节 一元二次方程的判别式和根与系数的关系 例一：若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=（2ax0+b）2的关系是什么？ 解：方法一:由x0是方程的根，知 ax02+bx0+c=0 乘以4a后配方，得 4a2x02+4abx0+b2-b2+4ac=0, （2ax0+b）2=b2-4ac, 即 △=M 方法二：由求根公式，有 x0=， 即 2ax0+b= 平方，得 M=△ 方法三：∵（2ax0+b）2=4a2x02+4abx0+b2=4a(ax02+bx0)+b2 又ax02+bx0+c=0， ∴ax02+bx0=-c ∴（2ax0+b）2=b2-4ac, 即 △= M 例二（2003·全国初中联赛）：已知a,b,c满足a+b+c=2,abc=4 求：（1）a,b,c中最大者的最小值； （2）的最小值 解：（1）不妨设a是a,b,c中的最大者，即a≥b,a≥c. 由题设，知a＞0，且b+c=2-a,bc=. 于是，b,c是一元二次方程x2-（2-a）x+=0的两实数根，则 =（2-a）2-4×≥0， a3-4a2+4a-16≥0, (a2+4)(a-4) ≥0, ∴ a≥4. 当a=4,b=c=-1时，满足题意，故a,b,c中最大者的最小值为4. （2）因为abc＞0,所以a,b,c为全大于0或一正二负. ①若a,b,c均大于0，则由（1），知a,b,c中最大者的最小值不小于4.这与a+b+c=2矛盾. ②若a,b,c为一正二负，设a＞0,b＜0,c＜0,则=a-b-c= a-(2-a)=2a-2. 由（1），知a≥4，故2a-2≥6. 当a=4,b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立，故的最小值为6. 例三：若二次方程(b-c)x2+(a-b)x+(c+a)=0有两相等实根，且b≠c，则a,b,c间的关系是什么？ 解：方法一：由判别式△=0，知 =(a-b)2-4(b-c)(c-a) =(a+b)2-4(a+b)c+4c2 =(a+b-2c)2 =0 ∴ a+b-2c=0 方法二：∵ （b-c）x2+(a-b)x+(c+a)=0, ∴方程有一个根是x1=1,另一个根是x2=. 又∵ x1=x2， ∴=1. ∴c-a=b-c. ∴a+b-2c=0. 例四：a为实数，M=（）2，N=4（a-1-）。问a为何值时，M＞N成立？ 解：构造实系数的一元二次方程 x2+()x+（a-1-）=0 解得 x1=1, x2=a-1-. 当x1=x2时，有 a-1-=1 即 a=2+. 此时一元二次方程△=0， （）2-4（a-1-）=0. ∴ M=N，不符合题意. 当x1≠x2时，有 a-1-≠1， ∴a≠2+. 此时一元二次方程△＞0， （）2-4（a-1-）＞0. ∴ M＞N，符合题意. ∴ 当a≠2+时，M＞N. 例五：设实数s,t分别满足19s2+99s+1=0,t2+99t+19=0,并且st≠1，求的值. 解：∵ s≠0，方程19s2+99s+1=0可变形为 （）2+99（）+19=0. 又 st≠1， ∴ ，t是一元二次方程x2+99x+19=0的两个不同的实数根. 于是，有 即 1+st=-99s,t=19s. ∴ ==-5. 例六：已知M+V=96，且二元方程x2+Mx+V=0的根都是整数，求方程的最大根. 解：设方程的两个整数根为x1,x2,则有 x1+x2=-M，x1x2=V. ∵ M+V=96， ∴ x1x2-（x1+x2）=M+V=96. ∴ x1x2-x1-x2+1=97，即 （x1-1）（x2-1）=97， ∵ 97为质数，设x1最大，则x1-1=97. ∴ x1=98 因此，方程的最大根是98. 例七：已知a,b,c,d是非零数，c和d是x2+ax+b=0的解，a和b是x2+cx+d=0的解，求a+b+c+d的值 解：由根与系数的关系，知 ∴ ∴ ∴ 故 a+b+c+d=-2. 例八（2000·全国初中联赛）：设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2. （1）若x12+ x22=6，求m的值. （2）求的最大值. 解：因为方程有两个不相等的实数根，所以 =4（m-2）2-4(m2-3m+3)=-4m+4＞0, 则m＜1， 结合题意，知 -1≤m＜1. (1) ∵ x12+ x22=(x1+x2)2-2x1x2 =4（m-2）2-2(m2-3m+3) =2m2-10m+10=6, ∴