赛程安排的图论模型——2002年全国大学生数学建模竞赛D题.pdf

维普资讯 北京建筑工程学院学报 第19卷 第4期 Jo 【瓜NAI．OFBEIJING INSTITLr~ OF Vdl．19No．4 2o03年 12月 CI、，ILENGD ￡l ING-AND ARCHrn口rURE Dee．2003 文章编号：1004—6011(2003)04—0072一O5 赛程安排的图论模型 2002年全国大学生数学建模竞赛D题 代西武 李群高 李秀琴 (基础部 ，北京 100044) 摘 要：通过建立赛程安排的图论模型，圆满解决了2002年全国大学生数学建模竞赛 D题的前三个问 题。提出了对于任意n支球队进行单循环比赛的赛程编制方法，该方法简单 易行 ，只须手工编排，并证 明了该方法编制的赛程使得各队每两场比赛最小相隔的场次数达到了理论上限。 关键词：完美匹配；Haimlt0n一 圈；单循环赛 中图分类号：0226 文献标识码：A 1 原题重述 比赛中间都至少相隔一场的赛程； 2)当n支球队比赛时，各队每两场比赛最小相 今有5支球队在同一块场地上进行单循环赛 ， 隔场次数的上界是什么； 共要进行 10场比赛，如何安排赛程使得对各队来说 3)在达到2)的上限的条件下，给出n=8，n=9 都尽量公平呢?下面是随便安排的一个赛程：记 5 的赛程，并说明它们的编制过程； 4)除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外， 支球队为A，B，C，D，E，在下表左半部分的右上三角 你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣，并说 的10个空格中，随手填上 1，2，…，10，就得到一个 明3)中给出的赛程达到这些指标的程度。 赛程，即第 1场A对B，第2场B对C，…，第 10场C 对E。为方便起见将这些数字沿对角线对称地填人 左下三角。 2 n支球队比赛时。各队每两场比赛 这个赛程的公平性如何呢，不防只看看各队每 中间都至少相隔的场次数的上限 两场比赛中间得到的休整时间是否均等，表的右半 部分是各队每两场比赛间相隔的场次数，显然这个 符号说明：0，1，2，…，(n一1)：表示n支球队； 赛程对A，E有利，对D则不公平。 (i，j)：表示球队i与球队j进行的一 场比赛； [x]：表示不超过实数x的最大整数。 定理 1 当 支球队比赛时，各队每两场比赛 中间都至少相隔的场次数的上限是：I旦 I一2。 证 明： 因[]一 {m二 。时删 从上面的例子出发讨论以下问题： 分两种情形来证明。 1)对于5支球队的比赛，给出一个各队每两场 情形1 当，z=2m为偶数时，这2m支球队为 收稿 日期：2003—09—26 作者简介：代西武(1963年一)．男，理学硕士．副教授．从事图论，数学建模 、计算机科学等方面的研究工作。