放缩法教案完整版.doc

第 PAGE 4 页 共 NUMPAGES 4 页 第三节 放缩法（教案） 知识梳理 1.放缩法 证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值_________或_________,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法. 知识导学 1.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证A≥B,需通过B≤B1,B1≤B2≤…≤Bi≤A(或A≥A1,A1≥A2≥…≥Ai≥B)，再利用传递性，达到证明的目的. 疑难突破 1.放缩法的尺度把握等问题 (1)放缩法的理论依据主要有: ①不等式的传递性; ②等量加不等量为不等量; ③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较; ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质; ⑤三角函数的有界性等. (2)放缩法使用的主要方法: 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项,减项,利用分式的性质,利用不等式的性质,利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩等.比如: 舍去或加上一些项:(a+)2+(a+)2; 将分子或分母放大(缩小): (k∈R,k1)等. 典题精讲 【例1】 设n是正整数,求证:≤+…+n1. 思路分析：要求一个n项分式+…+的范围,它的和又求不出,可以采用“化整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围. 证明：由2n≥n+kn(k=1,2, …,n),得≤. 当k=1时,≤; 当k=2时,≤;; …… 当k=n时,≤, ∴=≤+…+=1. 思路整理：放缩法证明不等式,放缩要适度,否则会陷入困境,例如证明,由,如果从第3项开始放缩,正好可证明;如果从第2项放缩,可得小于2,当放缩方式不同时,结果也在变化. 放缩法一般包括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大；缩小分子,扩大分母,分式值缩小；全量不少于部分.每一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求.即不能放缩不够或放缩过头,同时要使放缩后便于求和. 【变式训练】 若n∈N+,n≥2,求证：-. 思路分析：利用进行放缩. 证明:∵ =(-)+(-)+…+() =-. 又+…+ =(1)+(-)+…+()=1-, ∴-+…+1-. 【例2】 (经曲回放)求证：. 思路分析：利用|a+b|≤|a|+|b|进行放缩,但需对a,b的几种情况进行讨论,如a=b=0时等. 证明：若a+b=0或a=b=0时显然成立. 若a+b≠0且a,b不同时为0时, . ∵|a+b|≤|a|+|b|, ∴上式≤1+. ∴原不等式成立. 思路整理：对含绝对值的不等式的证明，要辨别是否属绝对值不等式的放缩问题，如利用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩，此问题我们可以算作放缩问题中的一类. 【变式训练】 已知|x|,|y|,|z|,求证:|x+2y-3z|ε. 思路分析：利用|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|进行放缩. 证明:∵|x|,|y|,|z|, ∴|x+2y-3z|=|1+2y+(-3z)| ≤|x|+|2y|+|-3z|=|x|+2|y|+3|z| +2×+3×=ε. ∴原不等式成立. 巩固提高 练习1. 求证：(n∈N*且n≥2). 思路分析：待证不等式的两端是整式，中间是n个式子的和，利用式子对每一个式子作适当的变形，最后各式相加，达到适当放大或缩小的目的，宜用放缩法. 证明：∵, ∴,分别令k=2,3,4…,n得： . 将这些不等式相加得：, ∴. 练习2. 求证：1+3. 思路分析：左边较为复杂，右边为一常数，考虑对一般项进行放缩,再利用等比数列的求和公式，达到证明目的. 证明：由（k是大于2的自然数）， 得 3. 练习3. 已知a,b,c∈R+,且a+bc,求证:. 证明:构造函数f(x)=(x∈R+), 任取x1,x2∈R+,且x1x2,则 f(x1)-f(x2)=0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. ∵a+bc,∴f(a+b)f(c). 即. 又, ∴.