8等离子体振荡1.doc
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§8 等离子体振荡
在金属中有集体激发态,即等离子体振荡。最简单的情况时均匀正负电荷的相对运动。由于带正电的离子比电子重的多,可认为是固定的。只考虑电子的运动凝胶模型,由于长程库仑力的支持,即使在是空间均匀振荡频率也非零。
唯象理论
电流密度定义为:
根据电子的运动方程:
可得:
其中n为单位体积中的电子数。
再根据电荷的连续性方程:
以及库仑定律
可得电荷密度随时间变化的方程为
其中等离子振荡频率
微观理论
采用凝胶模型(Jelhium),认为正电荷构成均匀背景,由平移不变性,动量守恒,k是好量子数,所以场算符做平面波分解是适宜的。
(8.1)
密度算子
(8.2)
其中,而
(8.3)
为k空间的密度算子。Hamillon算子为
(8.4)
在x表象中计算矩阵元(见《高量》笔记)
(8.5)
得到:
(8.6)
表示求和时除掉了的项,这一项正好被正电荷背景抵消,并记:
(8.7)
密度算子的运动方程为:
(8.8)
将8.3、8.6代入8.8,可得的运动方程。
(8.9)
其期待值的运动方程为:
(8.10)
为解方程,作如下近似:
1. 解耦合
设
即忽略了12和34之间的关联,这实际上是Hartrec-Fock近似,并忽略了Fock项。于是方程8.10成为
(8.11)
2. 无规位相近似
期待值一般具有相因子(一般为复数),这些相因子依赖于算符,以及下标q,假设当时相因子之间无关联,在对q求和时无关联的相因子使大多数项消失,仅剩的项,并记
(平均占据几率) (8.12)
则8.11成为:
(8.13)
设期待值有解:
(8.14)
其中待定,代入8.13,得
(8.15)
进一步写成
(8.16)
两边乘以对k求和,得
(8.17)
由非零解,得到
(8.18)
令
(8.19)
(8.20)
则8.18式成为
(8.21)
8.21表明,方程的解是一组原显不同,曲率不同的双曲线相加之后与水平线1的交显之横坐标,实际上,的取值是非连续的。
从图形是看,一类解是准连续的,其值接近(但不等于)某一个,实质上相当于一个单粒子激发态,最外面有一个孤立解。它是集体激发态。从8.16式看,的系数小,因而矩阵元大。孤立解的与任何k值的都不接近,从8.16式来看,有许多是同级的,或者说态是由许多单粒子激发态迭加而成:
其中是费米球填满的基态,则可断言,单粒子激发态在k空间分布是尖锐的,集中在某个k上,而集体激发态则展布在某个较宽的k的区域上。
实际上,能够激发的粒子集中在费米面附近,由8.16可见,只有的项才能被激发,在下,这只可能是或者。
K限制在图中的阴影中。
方程8.18的求解,在小波矢极限下是可行的,结果是:
或
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