第四章-信号谱表示2.doc

《信号与系统》 第四章：信号的谱表示 PAGE PAGE 25 图4-21 　　， 　　零阶近似：，表明小延时对宽信号的作用较小。 　　， 　　可见，两个方差相差很大的信号卷积，宽的信号起主导作用。 例：已知，则 （4-57） （4-58） （4-59） 注：利用， ， ，即可证明。 §4.5 周期信号的傅里叶变换（《信号与系统》第二版（郑君里）3.9，3.10） 周期信号，，，不满足傅里叶变换的充分条件。 方法：从，求傅里叶级数，再求傅里叶变换。 典型周期信号的傅里叶变换： ，是周期为零的周期信号， （4-60） （4-61） 图4-22 （4-62） 图4-23 （4-63） 图4-24 一般周期信号的傅里叶变换： 定义（主周期）：周期信号的主周期为 若，则，， 傅立叶系数为： （4-64） （4-64）式须记住！ 周期函数的与其的关系： ， ， ? 其中， （4-65） （4-65）式须记住！ 理想采样序列的傅里叶变换： 定义： （4-66） 为理想采样序列。 图4-25 F.S.：， ? （4-67） 式（4-67）称为Poisson求和公式。 F.T.：由（4-64）式和（4-67）式，可有 ， 和 （4-68） 图4-26 §4.6 采样定理（《信号与系统》第二版（郑君里）3.10-3.11） 问题的提出： 图4-27 抽样信号的谱结构： （4-69） 矩形脉冲抽样： ， 因此有：，如图4-29。 图4-28 被抽样信号频谱 图4-29 抽样序列的频谱 图4-30 抽样后所得信号频谱 理想采样： ， （4-70） 零阶采样保持器： 图4-31 ，每TS时间通一次，断开的时间进行保持，在断开的时间内完成A/D转换。 图4-32 上面的电路可用下面的模型表示： 图4-33 其中，为模拟信号，为采样信号（离散时间信号），为阶梯信号（连续时间信号），持续时间，数字信号。在持续是内，完成A/D转换操作，输出。 图4-34 时域采样定理： 定理（Nyquist时域采样定理）：带限信号被理想采样，则当采样频率时，，可用等间隔采样值为一表示： （4-71） 式中：，，。 时域抽样及原信号恢复 图4-35 （4-72） 注：要求，此时不会混叠，可以恢复，即要求： ，，称最低采样频率为Nyquist采样频率，称为Nyquist采样间隔。 §4.7 傅里叶变换的渐近性质 定理（Riemann-Lebesgue Lemma）：对， 有：。 证明：对，存在阶梯函数 ，使得 （4-73） 对满足（4-73）式的，，当时， 于是（），当时， 注：1）渐近，，。 2）等价于： ， 即：， （4-74） 因此有： （4-75） 对常义的极限则（4-75）不成立。 有界变差函数（Bounded Variation Function）： 定义：设是上实函数，对于上的任一分割T，，若 （4-76） 则称是有界变差函数，记为（有界变差函数的全体）。 ，则或者无界或者急剧振荡。 例：在含原点的，，。 有界变差函数未必绝对可积。 例：，在时不可积。 Riemann定理：若，且为上（可有限，可无限），则，。 证明： 单调有界增函数，使得， 又， 由第二积分中值定理： {若在上单调，在上可积，则， 使} 同理处理其余三项，则最后可得： 即： ，。 定理：若函数直至n阶导数存在，且有界变差、绝对可积，则 。 证明：由，有，（黎曼定理） 即 （FT的微分性质） 即 。 若，，则连续，有界。 举例： §4.8 相关函数与谱分析（《信号与系统》第二版（郑君里）6.6，6.7，6.8） 相关系数（亦称相似系数）： 中两元素的三种相对关系：垂直；平行；0夹角90? 图4-36 定义（相关系数）： 对，定义与的相关系数为： （4-77） 注：1）相关系数的取值范围： 即： （4-78） 2）两元素垂直，不相关： （4-79） 3）两元素平行，全相关： （4-80） 　为正实数，，为正相关， 　为负实数，，为负相关。 正交投影误差与相关系数的关系： 定义（正交投影误差）：y在x上的投影为cx，其投影误差为；其正交投影误差使得 最小化。 （参见第三章“正交投影”部分） 图4-37 令为正交投影误差，则有 （*） 将（*）式代入得： （4-81） 其中，为正交投影的相对误差。 若，相对误差最小，