二次函数复习重点以及根的分布问题.doc

初三数学培优卷：二次函数考点分析 ★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点． ★★二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 一般式：y=ax2+bx+c，三个点 顶点式：y=a（x－h）2+k，顶点坐标对称轴 顶点坐标（－，）． 顶点坐标（h，k） ★★★a b c作用分析 │a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，│a│越小，开口越大， a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－0，即对称轴在y轴左侧，当a，b异号时，对称轴x=－0，即对称轴在y轴右侧，（左同右异y轴为0） c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c0时，与y轴交于正半轴；c0时，与y轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． 交点式：y=a(x- x1)(x- x2)，（有交点的情况） 与x轴的两个交点坐标x1，x2 对称轴为 一元二次方程根的分布情况 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表二：（两根与的大小比较） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） —————— 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时， 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求； 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或 例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。 例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。 例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。 1.解：由 即 ，从而得即为所求的范围。 2解：由 或即为所求的范围。 3解：由 即 即为所求的范围。 4解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。 （注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内，由计算检验，均不复合题意，计算量稍大）