19秋【西南大学】[0346]《初等数论》在线作业（辅导答案）.docx

概念解释题 一、简答题 判断 30 是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。 94536 是否是 9 的倍数，为什么？ 写出模 6 的最小非负完全剩余系。 叙述质数的概念，并写出小于 18 的所有质数。 叙述模 m 的最小非负完全剩余系的概念。 2358 是否是 3 的倍数，为什么？ 二、给出不定方程 ax + by = c 有整数解的充要条件并加以证明。三、给出有关同余的一条性质并加以证明。 四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。 作业 1 答案 一、简答题（每小题 10 分，共 30 分） 判断 30 是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。 答：30 是合数，其标准分解式为30 2 3 5 。 94536 是否是 9 的倍数，为什么？ 答：94536 是 9 的倍数，因为9 4 5 3 6 27 是 9 的倍数。 写出模 6 的最小非负完全剩余系。 答：模 6 的最小非负完全剩余系为 0，1，2，3，4，5。4. 叙述质数的概念，并写出小于 18 的所有质数。 答：一个大于 1 的整数，如果它的正因数只有 1 和它本身，就叫作质数。小于 18 的所有质数是 2,3,5,7,11,13，17。 叙述模 m 的最小非负完全剩余系的概念。 答：0，1，2，…，m-1 称为 m 的最小非负完全剩余系。 2358 是否是 3 的倍数，为什么？ 答：2358 是 3 的倍数。 因为一个整数能被3 整除的充要条件是它的各个位数的数字之和为3 的倍数， 而 2+3+5+8=18，18 是 3 的倍数，所以 2358 是 3 的倍数。 二、给出不定方程 ax + by = c 有整数解的充要条件并加以证明。 解： 结论：二元一次不定方程 ax + by = c 有整数解的充要条件是(a,b) | c 。 ax + by = c 有整数解，设为x0 , y0 ，则 ax0 by0 c 但(a,b) | a ， (a,b) | b ，因而(a,b) | c ，必要性得证。 反之，若(a,b) | c ，则c c1 (a ,b) ， c1 为整数。由最大公因数的性质，存在两个整数 s，t 满足下列等式 as bt (a,b) 于是a(sc1 ) b(tc1 ) c1 (a,b) c 。 令x0 sc1，y0 tc1 ，则ax0 by0 c ，故x0 , y0 为 ax + by = c 的整数解，从而 ax + by = c 有整数解。 三、给出有关同余的一条性质并加以证明。 答：同余的一条性质：整数a，b 对模m 同余的充要条件是m｜a-b，即a=b+mt ， t 是整数。 证明如下： 设a mq1 r1 ， b mq2 r2 ， 0 r1 ， r2 m 。若 a≡b（mod m），则r1 r2 ，因此a b m(q1 q2 ) ，即 m｜a－b。 反之，若 m｜a－b，则m | m(q1 故r1 r2 ，即 a≡b（mod m）。 q2 ) (r1 r2 ) ，因此m | r1 r2 ，但 r1 r2 m ， 四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。 答：若 a，b 是两个整数，其中 b0，则存在两个整数 q 及 r，使得 a=bq+r， 0 r b 成立，而且 q 及 r 是唯一的。下面给出证明： …，－3b，－2b，－b，0，b，2b，3b，… 则 a 必在上述序列的某两项之间，及存在一个整数q 使得 qb≤a(q+1)b 成立。令 a－qb＝r，则 r 为整数，且 a＝qb＋r，而0 r b 。 设q1，r1 是满足（2）的另两个整数，则 a bq1 r1 ， 0 r1 b 所以bq1 r1 bq r ，于是b(q1 q) r r1 ，故bq1 q r r1 。由于 r，r1 都是 小于 b 的正整数或零，故r r1 b 。如果q1 q ，则bq1 q b ，这是一个矛盾。 因此q1 q ，从而r1 r 。 填空题 1．7 除 29 的商是 。 2．12 除 26 的余数是 。 3．5 的正因数是 。 4．{4.5}= 。 5．[8.3] +[-8.3] = 。 6．30 的最小质因数是 。 在所有质数中，是偶数的是 。 在所有质数中，最小的奇质数是 。 大于 4 小于 16 的素数有 。 不定方程ax by c 有整数解的充分必要条件是 。 模 5 的最小非负完全剩余系是 。 模 4 的绝对最小完全剩余系是 。 13． 5555 的个位数是 。 14．77 的个位数是 。 15．316 的十进位表示中的个位数字是 。 16．66 的个位数是 。 17．710 被 11 除的余数是 。 18．（1516，600）= 。