有限差分法及热传导数值计算.ppt

非稳态导热与稳态导热的主要差别在于控制方程中多了一个非稳态项，而其中扩散项的离散方法与稳态导热是一样的。因此，本节讨论重点将放在非稳态项的离散以及扩散项离散时所取时间层的不同对计算带来的影响上。2.4非稳态导热问题的数值解法01首先以一维非稳态导热为例讨论时间—空间区域的离散化。如图4-8所示，x为空间坐标，我们将计算区域划分为(N-1)等份，得到N个空间节点；τ为时间坐标，我们将时间坐标上的计算区域划分为(I-1)等份，得到I个时间节点。从一个时间层到下一个时间层的间隔Δτ称为时间步长。空间网格线与时间网格线的交点，如(n，i)，代表了时间—空间区域中的一个节点的位置，相应的温度记为tn(i)。非稳态项的离散有三种不同的格式。如果将函数在节点(n，i+1)对点(n，i)作泰勒展开，可有泰勒展开法02第二章有限差分法及热传导的数值计算（1）有限差分法（2）有限元方法（3）边界元方法求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。近100年来,对大量几何形状及边界条件比较简单的问题获得了分析解,但对于工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题,由于数学上的困难目前还无法得出其分析解.随着计算机技术的迅速发展，并得到日益广泛的应用.对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以下几种：题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。??数值解法的实质理论解在规定的边界条件下积分，有很大局限性；数值解借助计算机，前景广阔。2.1导热问题数值解法的基本思想——离散化01以有限差分无限微分无限划分实质达到精度以差分代数方程微分方程计算机帮助（当离散点足够多时可以满足要求）1.有限差分法原理（连续的问题离散的问题）02建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛解的分析改进初场是否物理问题的数值求解过程2.2内节点离散方程的建立方法下面先对稳态导热问题中位于计算区域内部的节点(简称内节点)介绍其离散方程的建立方法，而位于边界上的节点及非稳态导热中的非稳态项的离散将在以后讨论。为讨论方便，把如图中的节点(m，n)及其邻点取出并放大，如图所示。图4-3内节点离散方程的建立nmM基本概念：控制单元、网格划分、节点、边界、步长等010203Ny(m,n)x二维矩形域内稳态、常物性的导热问题下面以一个二维导热问题为例进行分析(有限差分法)：把一个二维物体在X及Y方向上分别以及距离分割成矩形网格。则其中节点（m，n)的坐标为：X=m,Y=n,其余节点类推。（举例）三种基本差分格式：[以节点(m，n)为例]（1）向前差分：（2）向后差分：（3）中心差分：对无内热源、稳态、二阶导热微分方程，有：用中心差分格式因为：所以：最终得：如果取正方形网格，即取，则上式为：tm+1,n+tm-1,n+tm,n+1+tm,n-1-4tm,n=0上式说明：在导热系数为常量时，热量的转移可用温度差来表达；在稳态下，流向任何节点的热量的总和必须为零。对于每个节点写出上式，然后联立求解方程组，即可求解。（如边界温度已知，可逐步递推求解）泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m+1,n)而温度tm+1,n用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的温度tm-1,n将上两式相加可得将上式改写成的表达式，有同样可得：表示未明确写出的级数余项中的ΔX的最低阶数为2据导热问题的控制方程(导热微分方程)若△x=△y则有得