河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）.docx
武安一中2024——2025学年第二学期3月考试
高一数学
一、单选题
1.复数（为虚数单位），则的虚部为（）
A.1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由虚部概念即可求解；
【详解】的虚部为，
故选：C
2.对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（）
A.①②④数量，③⑤⑥是向量 B.①④⑤是数量，②③⑥是向量
C.①④是数量，②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量，③⑥是向量
【答案】D
【解析】
【分析】由向量的概念逐个判断即可；
【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量；
速度，重力既有大小又有方向，是向量，
故选：D.
3.在中，，则的值为（）
A.20 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积定义直接计算得解.
【详解】依题意，.
故选：B
4.已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的公式计算即可.
【详解】．
故选：C.
5.已知复数z满足，则的最大值为（）
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出最大值.
【详解】在复平面内，z与对应的点，关于x轴对称，
而满足条件的点的集合是以为圆心，2为半径的圆，该圆关于x轴对称，
因此，由复数的几何意义知表示点与点的距离，
又圆上的点到的距离最大值为5，
所以的最大值为5.
故选：B
6.已知，向量，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角公式结合向量平行求解即可.
【详解】法1：根据题意得，则有，变形可得，解得或．又，则必有．故选：C．
法2：选项验证法！
观察选项，当时，，不符合题意；
当时，，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意．
故选:C．
7.某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（）
A.米 B.米 C.米 D.米
【答案】B
【解析】
【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可.
【详解】设，则可得，
由，可得B是AC的中点，所以，
而，则，
，中，由余弦定理可得：，
解得：，所以该建筑的高度米.
故选：B.
8.在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（）
A.6 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的向量表示形式，结合复数的几何意义、复数实部定义进行求解即可.
【详解】因为复数4i对应的向量为，
所以，
绕点O逆时针方向旋转后变为，
再将模变为原来的倍，得，对应的复数的实部是，
故选：B
二、多选题
9.已知平面向量满足，则下列结论正确的是（）
A. B.与的夹角为
C. D.的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由模长的计算可得A错误、C正确；由夹角的计算可得B正确；设，由模长的计算和可得D正确；
【详解】选项A：由得，又，所以，所以A错误；
选项B：设与的夹角为，则，因为，所以，所以B正确；
选项C：，所以，所以C正确；
选项D：设，则，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以当且仅当与反向共线时，取得最大值，且最大值为，所以D正确．
故选：BCD
10.欧拉是科学史上最多才一位杰出的数学家，他发明的公式为，虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（）
A.复数为纯虚数
B.复数对应的点位于第二象限
C.复数的共轭复数为
D.复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用欧拉公式将复数化为的形式，然后应用复数的相关知识判断即可.
【详解】对于A，，所以为纯虚数，故A正确；
对于B，，因为，所以，，所以复数对应的点位于第二象限，故B正确；
对于C，，复数的共轭复数为，故C错误；
对于D，，，复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆，故D正确.
故选：ABD.
11.已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（）
A.若，，则动点的轨迹经过的内心
B.若O为平面内任意一点，，则点为的重心
C.若为的垂心，，则
D.若为锐角的外心，且，则