湖南省常德市津市市第一中学2025年高三年级下册学期开学考试数学试题（含答案）.docx
2025年
2025年
湖南省常德市津市第一中学2024-2025学年
高三下学期入学考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（????）
A． B． C． D．
3．下列命题为真命题的序号是（????）
①
②若向量和反向，则
③若，则或
④若，则为钝角三角形
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．函数，若实数满足，则（????）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（）
A． B． C． D．
6．用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面.若正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，，则该棱台的对角面面积为（????）
A． B． C． D．
7．已知数列中，，，记，，则（????）
A． B． C． D．
8．已知实数，满足，则的最小值为（????）．
A． B．
C． D．
二、多选题
9．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（????）.
A． B． C． D．
10．已知双曲线C:x2a2?y2b2=1a0,b0的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点，两点，和的内心分别为，，则（???）
A．始终垂直于轴 B．
C． D．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．则下列命题中正确的是（????）
A．，
B．若，，，则方程的解集为
C．对于任意实数，，是成立的充分不必要条件
D．设，则函数的所有零点之和为-1
三、填空题
12．已知，则.
13．用种不同的颜色给图中个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且最多用色，涂色方法有种.
14．已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是．
四、解答题
15．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐且．
(1)求角B；
(2)若，求的面积．
16．如图，在三棱锥中，，平面，，分别为棱，的中点.
(1)求证：；
(2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积.
17．新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n次；方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验次.
(1)若，且其中两人患有该疾病，
①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；
②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；
(2)已知每个人患该疾病的概率为.
（i）采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的期望；
（ii）若，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.
18．已知函数．
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的极值；
（2）若的图象恒在直线的下方．
①求实数的取值范围；
②证明：对任意正整数，都有
19．在直角坐标系xOy中，椭圆经过点，短半轴长为.过点作直线l交C于A，B两点，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N，记直线PA，PB的斜率分别为和.
(1)求C的标准方程；
(2)证明是定值，并求出该定值；
(3)设点，证明C上存在异于其上下顶点的点Q，使得恒成立，并求出所有满足条件的Q点坐标.
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
D
D
A
C
B
ABC
ABC
题号
11
答案
BCD
12．45/
13．
14．
15．(1)；
(2