流体力学第一章 数学基础.pdf

高等流体力学高等流体力学 第第一章章 预备知识预备知识 ●● 场论与场论与 正交曲线坐标正交曲线坐标 • 场：具有物理量的空间 •• 物理量物理量 = ff ((空空 间间位位置置RR ，，tt )) §1.1 向量及张量的基 本运算 一、向量运算符号规定向量运算符号规定 1、爱因斯坦（Einstein）求和符号 定义：数学式子中任一项出现一对符号相同的 指标（哑指标） 如如：： aa ee =a=a ee +a+a ee +a+a ee i i 1 1 2 2 3 3 kk a bb ++ kk e ie =kk ((a bb ++a bb ++a bb ))+3k+3k 1 i i 2 j j 1 1 1 2 2 3 3 2 2、克罗内尔克罗内尔 （Kronecker）δ符号符号 定义：任意两个正交单位向量点积用δij 表示 1 i= j ⎧ e ie =δ =⎨⎨ ii，，jj= 11，，22，，33 ii jj ijij 0 i≠ j ⎩ 3、置换符号 任意两个正交单位向量叉积可表示为 ee ××ee ee ee i j ijk k 式中eijj k 称为置换符号，又称利西（Ricci）符号 ⎧⎧ 00 ii，jj，kk 中中有有22个个或或33个个自自由由指指标标值值相相同同 ⎪ eijk ⎨ 1 i，j，k中按12312顺序任取3个排列 ⎪⎪ − 1 i，j，k中按13213顺序任取3个排列 ⎩ 二、向量向量运算公式算公式 aaibb =aa ee ibb ee =aa bb ee iee aa bb δδ aa bb i i j j i j i j i j ij i i a ±± bb =aee ±± bb ee =(( a ±±bb ))ee i i i i i i i a ×bb =ae ×bb e =abb e ×e i i j j i j i j ee ee ee 11 22 33 a b e e a a a i j ijk k 1 2 3