投影与直观图画法.doc

本资料来源于《七彩教育网》 10.2 投影与直观图的画法 【知识网络】 1、投影，中心投影和平行投影的相关概念，并注意区分中心投影和平行投影。 2、简单组合图形三视图的画法,由三视图想象实物模型,并画模型草图。 3、用斜二测画法画直观图，掌握作图规则，了解平面图形的直观图与空间图形直观图的区别与联系。 4、掌握简单几何体的三视图、直观图之间的相互转化，了解正投影主要用于绘制三视图，中心投影主要用于绘画，斜投影主要用来作几何体的直观图。 【典型例题】 例1：（1）如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是 （ ） （A） （B） （C） （D） 答案：C。解析：由斜二测画法规则知。 （2）如图所示，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ） ①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A．④③② B． ②①③ C． ①②③ D． ③②④ 答案：A 。解析：由三视图的画法知。 （3）已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为（ ） A． 　 B． 　 C． 　　 D． 答案：C。解析：由三视图知该几何体是底面半径为1，高为的圆锥，其外接球的直径为。 （4）水平放置的△ABC的斜二测直观图如下图⑴所示，已知，则AB边上中线的实际长度为 。 ⑴ ⑵ 答案：2.5。解析：根据直观图的画法规则易求。 （5）如上图⑵所示，用中心投影法作正方体ABCD—A1B1C1D1的透视图中，若只有一个消点S，且，则 。 答案：1。解析：由中心投影法的定义知。 例2：在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？ 答案: 这些正方体货箱的个数为7个 例3：（1）如下图⑴所示，已知△ABC在一个平面内的直观图是△，则△ABC的BC边上的中线在这个平面内的直观图的作法是 。 ⑴ ⑵ （2）如上图⑵所示，现有一水平放置的边长为1的正方形，其中对角线在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积。 答案:（1）取的中点，连结即可。 （2）解：四边形ABCD的真实图形如图所示。 ∵在水平位置，为正方形， ∴在四边形ABCD中，DA⊥AC，且DA=。 ∴。 例4：一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形. （Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； （Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6的正方体ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼？试证明你的结论； （Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1 的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面 角的余弦值. 答案： 解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的 正方形，高为CC1=6，故所求体积是 （Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍， 故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体， 其拼法如图2所示. 证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的 正方形，于是 故所拼图形成立 （Ⅲ）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G， 连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H， 连结HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与 平面ABC所成二面角或其补角的平面角. 在Rt△ABG中，，则 ，， ， 故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为. 方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）. 设向量n=（x，y，z），满足n⊥，n⊥， 于是，解得. 取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6）， 故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为. 【课内练