投影与直观图画法.doc
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10.2 投影与直观图的画法
【知识网络】
1、投影,中心投影和平行投影的相关概念,并注意区分中心投影和平行投影。
2、简单组合图形三视图的画法,由三视图想象实物模型,并画模型草图。
3、用斜二测画法画直观图,掌握作图规则,了解平面图形的直观图与空间图形直观图的区别与联系。
4、掌握简单几何体的三视图、直观图之间的相互转化,了解正投影主要用于绘制三视图,中心投影主要用于绘画,斜投影主要用来作几何体的直观图。
【典型例题】
例1:(1)如图所示为某一平面图形的直观图,则此平面图形可能是 ( )
(A) (B) (C) (D)
答案:C。解析:由斜二测画法规则知。
(2)如图所示,甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是( )
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱
A.④③② B. ②①③ C. ①②③ D. ③②④
答案:A 。解析:由三视图的画法知。
(3)已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
答案:C。解析:由三视图知该几何体是底面半径为1,高为的圆锥,其外接球的直径为。
(4)水平放置的△ABC的斜二测直观图如下图⑴所示,已知,则AB边上中线的实际长度为 。
⑴ ⑵
答案:2.5。解析:根据直观图的画法规则易求。
(5)如上图⑵所示,用中心投影法作正方体ABCD—A1B1C1D1的透视图中,若只有一个消点S,且,则 。
答案:1。解析:由中心投影法的定义知。
例2:在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要落实一下箱子的数量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三种视图画了出来,你能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?
答案: 这些正方体货箱的个数为7个
例3:(1)如下图⑴所示,已知△ABC在一个平面内的直观图是△,则△ABC的BC边上的中线在这个平面内的直观图的作法是 。
⑴ ⑵
(2)如上图⑵所示,现有一水平放置的边长为1的正方形,其中对角线在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积。
答案:(1)取的中点,连结即可。
(2)解:四边形ABCD的真实图形如图所示。
∵在水平位置,为正方形,
∴在四边形ABCD中,DA⊥AC,且DA=。
∴。
例4:一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视
图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.
(Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积;
(Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为
6的正方体ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼?试证明你的结论;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1
的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面
角的余弦值.
答案: 解:(Ⅰ)该几何体的直观图如图1所示,它是有一条
侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的
正方形,高为CC1=6,故所求体积是
(Ⅱ)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的3倍,
故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体,
其拼法如图2所示.
证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的
正方形,于是
故所拼图形成立
(Ⅲ)方法一:设B1E,BC的延长线交于点G,
连结GA,在底面ABC内作BH⊥AG,垂足为H,
连结HB1,则B1H⊥AG,故∠B1HB为平面AB1E与
平面ABC所成二面角或其补角的平面角.
在Rt△ABG中,,则
,,
,
故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.
方法二:以C为原点,CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系(如图3),∵正方体棱长为6,则E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0).
设向量n=(x,y,z),满足n⊥,n⊥,
于是,解得.
取z=2,得n=(2,-1,2). 又(0,0,6),
故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.
【课内练
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