凯莱-哈密尔顿(Caylay-Camilton)定理.doc

第二章 线性控制系统的运动分析 2-1 线性定常系统齐次状态方程的解 设齐次向量微分方程为： 其中A为n×n常系数矩阵，其解为： 写成矩阵形式： 式中b0、b1、b2、…bk均为n维列向量，则 由待定系数法，得： 考虑到初始条件： 最后得： 定义状态转移矩阵： 则齐次状态方程的解可写为： 若初始条件为： 可以令： 可以求出： 关于线性定常齐次状态方程的求解，也可以应用拉氏变换，即： 两边拉氏变换： 可见状态转移矩阵： 证明：由于： 例：设系统状态方程为： 试求状态方程的解。 解： 2-2 状态转移矩阵 一：φ(t)是矩阵微分方程： 的唯一解。 证：1）设φ(t)为状态转移矩阵，即为方程 的解，把代入后，容易得证。 2）若φ(t)满足则φ(t)一定是状态转移矩阵，即 一定满足 说明φ(t)是矩阵微分方程： 的唯一解。 二：φ(t)的性质 证： 所以： 证： 考虑到X (t0)的任意性，有： 在上式中，令t1=0，得： 进一步写为： 说明φ(t1)、φ(t2)为可交换矩阵。令t1=t2，有： 对于n×n阵A、B，当且仅当AB=BA时，有： 三：状态转移矩阵的求法 1： 2： 3：待定系数法 凯莱-哈密尔顿（Caylay-Camilton）定理 对于一个n×n矩阵A，若A的特征多项式为： 则矩阵A满足自己的特征多项式，即： 证：设B(λ)为(λI-A)的伴随阵,即: 考虑到B(λ)也为n×n矩阵,各元素的最高次数不大于n-1，故： 式中B0、B1、…Bn-1为n×n常系数矩阵，由于： 比较系数： 上式分别右乘An、An-1、…A、I，得： 相加后，得： 凯莱-哈密尔顿定理的应用 设A∈Rn×n，计算（m≥n）的值。 若 则 其中： q(λ)为一多项式, 设λ1、λ2、…λn为A的特征值，根据： 可以求出α1、α2、…αn。 说明关于A的一个任意次幂的多项式总可以用另一个A的多项式来表示,其最高次幂不大于n-1. 例如: 例：已知： 求A1010 解：|λI-A|=0，得A的特征值λ1=5，λ2=-2 设A1010=α0I+α1A 即： 3）用待定系数法求φ(t) 设λ1、λ2、…λn为A的n个互异特征值， 则： 从中可求出α1、α2、…αn。 若λi为l重特征值，则相应的l个方程为： 例： 求φ(t)。 解： 令： 则： 4：利用线性变换计算φ(t) 若或 则： 证：… 若 则： 例： c）若 其中： 则： 其中： 例： 化矩阵A为对角线矩阵 对于矩阵A，称|sI-A|为矩阵A的特征多项式。 |sI-A|=0为其特征方程式。 特征方程式的根λ1、λ2、…λn即为A的特征值。若：（λiI-A）pi=0或： λipi= Api ，称pi为与λi相对应的A的特征向量。 下列几种情况，可将A化为对角阵 如果矩阵A 具有如下标准形式： 且A的n个特征值λ1、λ2、…λn互不相同，则利用范德蒙特矩阵P，可使成为对角阵。 2）如果A有n个特征值λ1、λ2、…λn互不相同，则：P=（p1 ，p2 ，…pn ），其中pi为与λi相对应的A的特征向量，可使成为对角阵，即： 例： 设对应与λ1的特征向量为： 设对应与λ2的特征向量为： 故： 3）如果矩阵A虽有相重之特征值，但由λipi= Api 可解出n个独立的特征向量，则P=（p1 ，p2 ，…pn ），可使成为对角阵。 例： 设对应与λ1、λ2的特征向量为： 对应与λ3的特征向量为： 故： 化矩阵A为约当标准形 下列情况下，可将矩阵A化为约当标准形 1）如果矩阵A 具有如下标准形式： 且A的特征值λj为k重根，此时与λj相对应的约当块为： 范德蒙特矩阵P中对应部分变为： 其中： 例如： 其特征值为λ1、λ1、λ1、λ2、λ2，此时： 而： 2）一般情况下，在A的n个特征值λ1、λ2、…λn中，有n-m个互不相同，有m个为重特征值，此时，可A 化为约当阵。 对于互不相同之特征值，特征向量pi由A pi=λi pi确定； 对于m重特征值λj，其相应的约当块为： 相应的变换矩阵部分为： 其中，特征向量pj由A pj=λj pj确定；广义特征向量pj+1、pj+2、…pj+m-1、由下式确定： λj pj+1+pj= A pj+1 λj pj+2+pj+1= A pj+2 … λj pj+m-1+pj+m-2= A pj+m-1 例：设： 特征值λ1=2、λ2=λ3=1，试化A为约当阵。 解：由λ1 p1=A p1得：p1=[2，-1，-2]T 由λ2 p2=A p2得：p2=[1，-3/7，-5/7]T 由λ2 p3+p2=Ap3得：p3=[1，-22/4