排列组合基本题型61449.doc

排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列.例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有 ＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有 ＝2种，所以共有6×2＝12种排法.二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.例2? 7个同学并排站成一排，其中只有A、B是女同学，如果要求A、B不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？.分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是 ＝120.再把A、B插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有 ＝2种方法.则共有 ＝440种排法.三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素.例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有????? 种.分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有 种排法.然后将其余5个排在余下的5个位置上，有 种方法.则共 ＝480种排法.还可以优先排两端（位置优先）.四、同元问题“隔板法”例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图：×× × ××× ××××一种插法对应于一种分法，则共有 ＝84种分法.五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（??? ）（A）210个????? （B）300个????? （C）464个??????? （D）600个分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有 个、 个、 个、 个、 个，合计300个，所以选B例6 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有 种，其中0居首位的有 种，故符合条件的五位数共有 ＝11040个.【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8.把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：不含0的；含0的.不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有 个；含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有 种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有 种排法.综合和，由分类计数原理，符合条件的五位数共有 ＋ ＝11040个.六、间接法如果一个问题直接考虑，比较复杂，很难得出结论，可考虑采用“间接法”.例7（97年高考题）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（??? ）（A）144种??????? （B）147种????????? （C）150种???????? （D）141种分析：从10个点中任取四点，总数为 .其中四点共面的有三种情况：共面的6个点中任意4点，共有4 种；任一棱上的3点与其对棱中点共面的共有6种；相邻两面三角形中位线的4个端点共面，共有3种.所以适合条件的取法有 －4 －6－3＝141（种），因此选D.七、交叉问题——韦恩图例8? 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3的自然数？?【解】设A＝{满足题设条件，且百位数字是3的自然数}，B＝{满足题设条件，且比20000大的自然数}，则原题即求 ，画韦恩图如图，阴影部分即 ，从图中看出 .又 ，由性质2，有??即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知 .?即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字、比20000大，且百位数字是3的自然数的个数，易知 ，所以 ＝78.即可组成78个符合已知条件的自然数. 四.?定序问题用除法 对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有种排列方法。 例4.?由数字0、1、2、3、4、5组