圆锥曲线(椭圆).doc

智信教育小班制教案 学 生 年 级 授课日期 教 师 学 科 上课时间 教 学 内 容 及 教 学 步 骤 圆锥曲线 （椭圆） 椭圆及其标准方程 知识点一、椭圆的定义 1.椭圆的定义:平面内，到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点---两点间距离确定 （2）轨迹上任意点到两定点距离和确定 知识点二、椭圆标准方程的推导： 取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴 设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）. 则，又设M与距离之和等于()（常数） ， ， 化简，得 ， 由定义, 令代入，得 ， 两边同除得 此即为椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中 注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得 ，也是椭圆的标准方程 理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在与这两个标准方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式类比，如中，由于，所以在轴上的“截距”更大，因而焦点在轴上(即看分母的大小) 椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上. 【例1】如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？ 【例2】如图，设点A、B的坐标分别是（—5，0），（5，0）。直线AM，BM相交与点M，且他们的斜率之积是—，求点M的轨迹方程。 【例3】求适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。 ⑶一焦点将长轴分成２：１的两部分，且经过点P(,4) 【例3】 知识点三、椭圆的几何性质 范围：由 知：-a≤x≤a, -b≤y≤b 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中，如图 对称性：从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 4.离心率(刻画椭圆扁平程度的量) 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： [1]离心率的取值范围：0e1 [2]离心率对椭圆形状的影响：① e 越接近1，c 就越接近a，从而 b就越小，椭圆就越扁 ②e 越接近0，c 就越接近0，从而 b就越大，椭圆就越圆 【例4】已知椭圆方程为9x2+25y2=225, 它的长轴长是： 短轴长是： 焦距是： 离心率等于： 焦点坐标是： 顶点坐标是： 外切矩形的面积等于： 【例5】求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。 （1）x2+9y2=81 (2) 25x2+9y2=225 (3)16x2+y2=25 (4) 4x2+5y2=1 【例6】 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ) 【两种方法】 A． B． C． D． 椭圆的几何性质 椭圆两种标准式的比较 附加题：（可看可不看） 题型一 直线与椭圆 例1 已知椭圆C的焦点F1（－，0）和F2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐