同济大学高等数学第六版第五章课后习题答案(包括5.1-5.2-5.3-5.4-总习题五).doc

习题5-1 1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1, 两直线x=a、x=b(ba)及横轴所围成的图形的面积. 解 第一步: 在区间[a, b]内插入n-1个分点(i=1, 2, ×××, n-1), 把区间[a, b]分成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: (i=1, 2, ×××, n). 第二步: 在第i个小区间[xi-1, xi] (i=1, 2, ×××, n)上取右端点, 作和 . 第三步: 令l=max{Dx1, Dx2, ×××, Dxn}, 取极限得所求面积 . 2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)(ab); 解 取分点为(i=1, 2, ×××, n-1), 则(i=1, 2, ×××, n). 在第i个小区间上取右端点(i=1, 2, ×××, n). 于是 . (2). 解 取分点为(i=1, 2, ×××, n-1), 则(i=1, 2, ×××, n). 在第i 个小区间上取右端点(i=1, 2, ×××, n). 于是 . 3. 利用定积分的几何意义,?说明下列等式: (1); 解 表示由直线y=2x、x轴及直线x=1所围成的面积, 显然面积为1. (2); 解 表示由曲线、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2+y2=1的面积的: . (3); 解 由于y=sin x为奇函数, 在关于原点的对称区间[-p, p]上与x轴所夹的面积的代数和为零, 即 . (4). 解 表示由曲线y=cos x与x轴上一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y轴对称. 因此图形面积的一半为, 即 . 4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p(单位面积上的压力大小)是水深h的函数, 且有p=9×8h (kN/m2). 若闸门高H=3m, 宽L=2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P. 解 建立坐标系如图. 用分点(i=1, 2, ×××, n-1)将区间[0, H]分为n分个小区间, 各小区间的长为(i=1, 2, ×××, n). 在第i个小区间[xi-1, xi]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ?Pi=9.8xiL×?xi . 闸门所受的水压力为 . 将L=2, H=3代入上式得P=88.2(千牛). 5. 证明定积分性质: (1); 证明 . (2). 证明 . 6. 估计下列各积分的值: (1); 解 因为当1?x?4时, 2?x2+1?17, 所以 , 即 . (2); 解 因为当时, 1?1+sin2x?2, 所以 , 即 . (3); 解 先求函数f(x)=x arctan x在区间上的最大值M与最小值m. . 因为当时, f ?(x)?0, 所以函数f(x)=xarctan x在区间上单调增加. 于是 , . 因此 , 即 . (4). 解 先求函数在区间[0, 2]上的最大值M与最小值m. , 驻点为. 比较f(0)=1, f(2)=e2, , 得, M=e2. 于是 , 即 . 7. 设f(x)及g(x)在[a, b]上连续, 证明: (1)若在[a, b]上, f(x)30, 且, 则在[a, b]上f(x)o0; 证明 假如, 则必有f(x)0. 根据f(x)在[a, b]上的连续性, 在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值. 再由连续性, 存在[c, d]ì[a, b], 且x0?[c, d], 使当x?[c, d]时, . 于是 . 这与条件相矛盾. 因此在[a, b]上f(x)o0. (2)若在[a, b]上, f(x)30, 且, 则