《数字通信原理》课件_第5章.ppt

编码后的码字如表5-3所示。同时由上述线性关系，还可得：即将上式写成矩阵形式为令则HCT=0通过本例我们可以看出，由式C=MG或者HCT=0就可以确定码字，于是称矩阵G为生成矩阵，称矩阵H为监督矩阵。线性分组码还具有以下一些性质:(1)码字集中码元之间的任意线性组合仍是合法码字，即码字集对线性组合运算具有封闭性。(2)码的最小距离等于非零码的最小码重。5.3.2几种典型的线性分组码1.汉明码汉明码是美国科学家Hamming于1950年提出来的，是一种高效的能纠单个错误的线性分组码。其高效性体现在其纠单个错误时，所用的监督码元最少，与其它码长相同的能纠单个错误的码相比，编码效率最高，被广泛用于数字通信和数据存储系统中。汉明码(n，k)的参数如下：(1)监督码元数目：r=n－k，r是不小于3的任意正整数(因为要纠t位错误，所以dmin2t+1)；(2)码长:n=2r－1；(3)信息码元数目：k=2r－1－r；(4)最小距离：dmin=3；(5)纠错能力：t=1。2.BCH码BCH码是一种非常重要的循环码，它解决了生成多项式与最小码距之间的关系，是线性分组码中应用最为普遍的一类码。在定义BCH码之前，首先要了解本原多项式。如果一个m次多项式f(x)满足以下3个条件:(1)f(x)是既约的；(2)f(x)可以整除xn+1，其中n=2m－1；(3)qn，f(x)不能整除xq+1。则称f(x)是一个最高次数为m的本原多项式。BCH码可分为本原BCH码和非本原BCH码两类。它们的主要区别在于本原BCH码的生成多项式g(x)中含有最高次数为m的本原多项式，而且码长n=2m－1；非本原BCH码的生成多项式g(x)中不含有这种本原多项式，而且码长n是2m－1的一个因子，即n一定能整除2m－1。BCH码长n、监督码元数目r和纠错能力t之间的关系如下:对于任意整数m和t≤m/2，必定存在一个码长为n=2m－1、监督位数r=n－k≤mt，并能纠正所有不大于t个错误的BCH码。3.最大长度码最大长度码也称为m序列，是汉明码的对偶码，即以汉明码的校验矩阵作为生成矩阵的码。其码长为n=2m－1，信息码元数目为m，最小距离dmin=2m－1。最大长度码也称为伪随机或伪噪声码，在扩频通信和卫星通信中都有广泛的应用。5.4循环码5.4.1循环码的定义与性质从上一节的例5-1的编码中可以看出，由生成矩阵得到的码字为1000110、0100011、1010001、1101000、0110100、0011010、0001101、1001011、1100101、1110010、0111001、1011100、0101110、0010111、1111111、0000000，这些码字不论经过怎样的循环移位，移位后码字仍然是这些码字中的内容，我们把具有这种特性的线性分组码叫做循环码。循环码是线性分组码的一个重要子集，是线性分组码中最主要、最有用的一类，也是目前研究得最成熟的一类码。循环码具有严谨的代数结构和许多特殊的代数性质，这些性质有助于按所要求的纠错能力系统地构造循环码，且易于实现；同时循环码的性能也较好，具有较强的检错和纠错能力；编译电路简单，易于实现。循环码最引人注目的两个特点是:(1)循环封闭性，即循环码经过循环移位后仍为循环码组中的许用码字。(2)用反馈线性移位寄存器可很容易地实现其编码和伴随式计算。5.4.2循环码的编码原理循环码的主要优点之一是其编码过程很容易用移位寄存器来实现。由于生成多项式g(x)可以惟一地确定循环码，因此编码方法可基于生成多项式g(x)。下面将给出一种基于g(x)的编码方案。首先根据给定循环码的参数确定生成多项式g(x)，也就是从xn+1的因子中选一个(n－k)次多项式作为g(x)；然后利用循环码的编码特点，即所有循环码多项式C(x)都可以被g(x)整除的特点，来定义生成多项式g(x)。设要产生(n，k)系统循环码，m(x)表示信息多项式，则其次数必小于k。其编码主要按照以下三步进行:(1)用xn－k乘m(x)，实际上是给信息码后附加上(n－k)个“0”。例如，信息码为110，信息多项式m(x)=x2+x。当n－k＝7－3＝4时，xn－km(x)=x6+x5，相当于1100000。(2)除以g(x)，可得余数r(x)。(3)r(x)加到信息位后作为监督位，就得到了系