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第5章 代数系统的基本概念 5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统 *5.3 代数系统的同态与同构 5.4 例题选解 习 题 五 5.1 二元运算及其性质 定义5.1.1 设A是集合，函数f：An→A称为集合A上的n元代数运算（operators），整数n称为运算的阶（order）。 当n=1时，f：A→A称为集合A中的一元运算。 当n=2时，f：A×A→A称为集合A中的二元运算。 一般地，二元运算用算符 ，*，·，Δ，◇等等表示，并将其写于两个元素之间，如Z×Z→Z的加法。 F(〈2,3〉)=+(〈2,3〉)=2+3=5 注意到RanfA，即运算结果是A中的元素，这称为运算的封闭性。另外，运算是函数，要具备函数所具有的对每一个自变元有唯一的像的特性。 【例5.1.1】 下面均是一元运算的例子。 （1）在Z集合上（或Q，或R）， f：Z→Z， x∈Z，f(x)=-x。 （2）在A={0, 1}集合上，f：A→A， p∈A， f(p)=﹁p，﹁表示否定。 （3）在R+集合上，f：R+→R+， x∈R+，f(x)= 1/x （但在R上，倒数不是一元运算，因为0无像）。 【例5.1.2】 下面均是二元运算的例子。 （1）在Z集合上（或Q，或R），f：Z×Z→Z， 〈x,y〉∈Z2，f(〈x,y〉)=x+y(或f(〈x,y〉)=x-y 或f(〈x,y〉)=x·y)，如f(〈2,3〉)=5。 （2）A为集合，P(A)为其幂集。f：P(A)×P(A)→P(A)。 f可以是∩、∪、-、 。 （3）A={0,1}。f：A×A→A。f可以是∧、∨、→、。 （4）AA={f | f：A→A}。“ (复合)”是AA上的二元运算。 当A是有穷集合时，运算可以用运算表给出。如A={0,1,2,3,4,5}，二元运算“ ” 的定义见表5.1.1。 事实上，对于表5.1.1，我们可观察看出其运算为 (〈x,y〉)=x · y (mod3) 其中，·是普通乘法。 而对于表5.1.2，此时的*运算应是在集合{0,1}上的∧（逻辑合取运算符）。 下面介绍二元运算的性质。 定义5.1.2 设*， 均为集合S上的二元运算。 (1)若xyz(x,y,z∈S→x*(y*z)=(x*y)*z)，则称*运算满足结合律。 (2)若xy(x,y∈S→x*y=y*x)，则称*运算满足交换律。 (3)若xyz(x,y,z∈S→x*(y z)=(x*y) (x*z))，则称*运算对 运算满足左分配律； 若xyz(x,y,z∈S→(y z)*x=(y*x) (z*x))， 则称*运算对 运算满足右分配律。 若二者均成立，则称*运算对 运算满足分配律。 （4）设*， 均可交换，若x，y∈A，有 x*(x y)=x x (x*y)=x 则称运算*和 运算满足吸收律。 （5）若 x(x∈A，x*x=x)，则称*运算满足幂等律。 【例5.1.3】 加法、乘法运算是自然数集上的二元运算，减法和除法便不是。但是减法是有理数集、实数集上的二元运算，除法却仍不是。加法、乘法满足结合律、交换律，乘法对加法、减法满足分配律，减法不满足这些定律。乘法“ ” 对加法“+” 运算满足分配律（对“-” 也满足）。但加法“+” 对乘法“ ” 运算不满足分配律。 【例5.1.4】 设A是集合，在A的幂集P(A)上的二元运算并∪、交∩满足交换律、结合律、吸收律、幂等律且彼此满足分配律。 ?【例5.1.5】 设A={a,b}，A上的运算*、 分别如表5.1.3、5.1.4所示。 解 从*运算表可知，*是可交换的。因为 (a*a)*b=a*b=b a*(a*b)=a*b=b (a*b)*b=b*b=a a*(b*b)=a*a=a 所以*是可结合的。 从ο运算表可知，ο是可交换的。因为  (aοa)οb=aοb=a