1_7.5　数列综合讲解册.pptx

专题七数列

7.5数列综合;题型清单;题型1数列与函数综合;例1已知f(x)=?(x∈R),P1(x1,y1),P2(x2,y2)是函数y=f(x)的图象上的两点,且线段P1P2

的中点P的横坐标是?.

(1)求证:点P的纵坐标是定值;

(2)若数列{an}的通项公式是an=f?(m∈N*,n=1,2,3,…,m),求数列{an}的前m项和Sm.;?解析????(1)证明:∵线段P1P2的中点P的横坐标为?,∴?=?,∴x1+x2=1.

∵P1(x1,y1),P2(x2,y2)是函数y=f(x)的图象上的两点,

∴y1=?,y2=?,

∴y1+y2=?+?=?=?=?

=?=?,

∴点P的纵坐标为?=?.

即点P的纵坐标是定值.;(2)Sm=a1+a2+a3+…+am=f?+f?+f?+…+f?+f(1).

令S=f?+f?+f?+…+f?.

由(1)知f?+f?=?(k=1,2,3,…,m-1),∴倒序相加得2S=?(m-1),∴S=?(m-1).又f(1)=

?=?,

∴Sm=S+f(1)=?(m-1)+?=?(m∈N*).;即练即清;题型2数列与不等式综合

解决与数列有关的不等式的证明问题,常常需要构造函数证明,或利用放缩法证明.

常见放缩公式:

(1)??=?-?(n≥2).

(2)??=?-?.

(3)?=??=2(?-?)(n≥2).

(4)?=??=2(?-?).;(5)?=??=2?.

(6)?=??=?=?-?.;例2????(2023江苏南京二模,18)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈

N*.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求证:?+?+…+??.;所以Sn=n(n+1),n≥2,当n=1时,S1=2适合上式,所以Sn=n(n+1),n∈N*.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-n(n-1)=2n,

验证n=1时满足,故an=2n,n∈N*.

(2)证明:?=??=??,(对原式进行适当放缩);即练即清;解析????(1)由5S2=11S1,得5(a1+a2)=11a1,

所以6a1=5a2,?=?,

由?=2-an+1,得?=2-a2,

所以a1=?,a2=?.

由?=2-an+1,得an+1=2an-an+1an,

两边同除以an+1an得?=?-1,所以?=?+?,;所以?=?=?,

因为a1=?,所以?-1≠0,

所以数列?是以?-1=?为首项,?为公比的等比数列.

(2)证明:由(1)知,?-1=?×?,

则an=?=?=1-?,

则Sn=1-?+1-?+1-?+…+1-?;=n-?,

因为2n2n+12n+1,所以???,

于是?+?+…+??+?+?+…+??+?+…+?,

其中?+?+…+?=?=1-?,

?+?+…+?=?=??=?-?,;于是?-??+?+?+…+?1-?,

所以n-1+?n-?n-?+?.

即n-1+?Snn-?+?.