弹塑性板材弯矩--曲率曲线的建立.doc

理想弹塑性板材弯矩—曲率曲线的建立 张继建，王坤显 （山东胜利钢管有限公司，山东 淄博 255082） 摘 要：本文通过理论推导出板材弯曲时的弯矩—曲率关系式，并给出了平板加载曲线、弯板加载曲线和卸载及再加载曲线模型。并对曲线进行了解析。提出了“相对有效应变”和“弯曲包申格效应”的概念。 关键词：弯曲包申格效应；理想弹塑性；弯矩；曲率；曲线； 中图分类号：TG445 文献标识码：B Theory Model of Plate Bending with Elastic-plastic Ｍaterial Zhang JiJian, Wang Kunxian （Shangdong Shengli Steel Pipe Co.，Ltd.，Zibo 255082，China） Abstract：article detail the reverse loading process and curve. The author demonstrate “Bending Bauschinger Effect” in the bending model. And put forward a new concept—Relatively Effective Strain/Stress. Key words：bending moment；Curvity；Curve； 0 引言 在工程实际应用中,经常用到板材弯曲的实例。如在焊管生产过程中，使用的三辊成型将钢卷（板）弯曲变形生成管坏，然后焊接成型。对于弯曲变形，其形状（曲率）与所放加的力（弯矩）是其最基本的量，这两个量有有什么规律和联系。本文进行了详细探讨。 文中采用以下符号： t—板材壁厚 t1 /t2—（正反弯）弹性层厚度 b—板材宽度 E—弹性模量 I—惯性矩　 W—抗—弯矩 σs—屈服强度 σ—应力 ε—应变 ρ—曲率半径 R—初始曲率半径 1 初始条件 本文关注于板材的纯弯曲变形进行分析，并假定以下条件： 1）板材壁厚t远小于曲率半径、板材宽度； t＜＜ρ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 式 1）　 2）板材为理想弹塑性材料，中性层为板材中心，在弯曲时长度不变； 3）定义向上弯曲为正弯曲，曲率（半径）和弯矩为正；向下弯曲为负，曲率（半径）和弯矩为负；钢板不弯曲时，曲率为0。 注意，弯矩和曲率可不同时为正或负，如初始曲率为1/R（正）的板材受较小负弯矩时并不能改变板材曲率为正的状态。 2 平板M-1/ρ曲线 2.1 应力、应变曲线 图1 平板弯曲ε、σ图 对于平板弯曲变形，正向弯曲受力矩M时。截取如图1部分并建立坐标系。 根据材料力学知识[1]：应变曲线为一条直线，见图1a)； 　ε＝y/ρ＝(1/ρ)y　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　式　2） 在弹性弯曲下其应力曲线亦为一条直线，见图1b)。 σ＝εE＝（E/ρ）） 　 式 6） 2.2.1 弹性变形 见图1b），弹性变形情况下，将式3）代入式6） M＝＝＝ ＝＝＝　　　　　　 　　　　　　　　　 式　7） 式7）就是材料力学弯曲基本公式＝的推导过程。在焊管行业中，也经常使用变形公式 ＝ 式 8） 2.2.2 弹塑变形 见图1c），弹塑性变形情况下，将式4）代入式6），并分段积分， M＝＝＋＝＋ ＝＋ ＝＋ 　　代入式５) 得 M＝－ 或 ＝－ 　　　　　　　　　　 式　9） 　　其中第一项为全塑状态下的弯矩，而第二项则是需要达到全塑状态时还需要增加的弯矩量。 2.2.3 拐点 从弹性变形到弹塑性变形是M—1/ρ曲线的拐点，此时弹性变形层为全部的钢板厚度，即：t＝t1，根据式5）得 t1＝t＝2ρσs/E 从而 1/ρ＝2σs/Et 代入式7）或9）可得M。从而得拐点值 （M，）＝（，） 式 10） 2.3 曲线建立 2.3.1 反向弯曲力矩 由于2.2节中计算的是正弯时的力矩，当反弯时，其力矩与大小与正弯完全一样，符号相反。据此，我们也可得到反弯时的变矩-曲率关系式（略）。 2.3.2 曲线确定 由此，我们可以确定平板的弯矩—曲率（M—1/ρ）曲线M(0)，见图2。 M＝＝； 　　 ｜｜≤， M＝±（－）； ｜｜≥