网络系统的最小费用最大流问题.ppt

在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问题的时候，我们往往不仅仅考虑的是流量，还经常要考虑费用的问题。比如一个铁路系统的运输网络流，即要考虑网络流的货运量最大，又要考虑总费用最小。最小费用最大流问题就是要解决这一类问题。; 设一个网络D=（V1，A，C），对于每一个弧(vi,vj)∈A,给定一个单位流量的费用bij=0，网络系统的最小费用最大流问题，是指要寻求一个最大流f，并且流的总费用b(f)=∑bijfij达到最小。 （Vi,Vj）∈A;在一个网络D中，当沿可行流f的一条增广链μ，以调整量θ=1改进f，得到的新可行流f’的流量，有v(f’)=v(f)+1，而此时总费用b(f’)比b(f)增加了 b(f’)-b(f)=∑bij(f’ij-fij)- ∑bij(fij-f’ij)= ∑bij-∑bij μ+ μ- μ+ μ- 将∑bij-∑bij叫做这条增广链的费用。;5.网络系统的 最小费用最大流问题; 显然，零流f={0}是流量为0的最小费用流。一般地，寻求最小费用流，总可以从零流f={0}开始。下面的问题是：如果已知f是流量为v(f)的最小费用流，那么就要去寻找关于f的最小费用增广链。 对此，重新构造一个赋权有向图M(f)，其顶点是原网络D的顶点，而将D中的每一条弧(vi,vj)变成两个相反方向的弧（vi,vj）和(vj,vi)，并且定义M(f)中弧的权wij为：; bij,当fijcij wij= +∞,当fij=cij -bij,当fij0 wij= +∞,当fij=0 并且将权为+∞的弧从M(f)中略去。 即当 0 fij cij 时，成为2条方向相反，权绝对值相等的弧。否则不变。; 这样，在网络D中寻找关于f的最小费用增广链就等于价于在M(f)中寻求从vs到vt的最短路。 算法开始，取零流f(0) ={0}.一般地，如果在第K-1步得到最小费用流f(K-1),则构造图M（f(K-1)）。在图M（f(K-1)）中，寻求从vs到vt的最短路。如果存在最短路，则f(K-1)就是最小费用最大流。如果存在最短路，则在原网络D中得到相对应（一一对应）的增广链μ0 ; 在增广链μ上对f(K-1)进行调整，取调整量θ=min{min((cij-f(k-1)ij),min(f(k-1)ij)}. μ+ μ- 令 f(k-1)ij+θ，在μ+上 f(k)ij = f(k-1)ij-θ，在μ-上 其他的不变?? 得到一个新的可行流f(k)，在对f(k)重复以上的步骤，直到D中找不到相对应的增广链时为止。; 例8.9:求图8-24 所示网络中的最小费用最大流，弧旁的权是（bij,cij）. ; 解： （1）取初始可行流为零流f(0)={0},构造赋权有向图M(f(0)),求出从vs到vt的最短路(vs,v2,v1,vt),如图8.25a中双箭头所示。 ; （2）在原网络D中，与这条最短路相对应的增广链为μ=（vs,v2,v1,vt）。 （3）在μ上对f(0)={0}进行调整，取θ=5，得到新可行流f(1)，如图8.25b所示。按照以上的算法，依次类推，可以得到f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，流量分别为5，7，10，11，并且分别构造相对应的赋权有向图M(f(1)),(Mf(2)),(Mf(3)),(Mf(4))。由于在Mf(4)中已经不存在从vs到vt的最短路，因此，可行流f(4)，v(f(1))=11是最小费用最大流。;5.网络系统的 最小费用最大流问题;5.网络系统的 最小费用最大流问题;5.网络系统的 最小费用最大流问题;5.网络系统的 最小费用最大流问题;5.网络系统的 最小费用最大流问题;5.网络系统的 最小费用最大流问题;5.网络系统的 最小费用最大流问题;5.网络系统的 最小费用最大流问题