精品解析：2025届山东省济南市历下区山东师范大学附属中学高三一模考试数学试题（原卷版）.docx

山东师范大学附属中学2025届高三年级高考模拟考试

数学试题

2025.03

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

2.已知向量满足，则在上的投影向量为（）

A. B. C. D.

3.设正项等比数列前项和为，若，，则（）

A.31 B.32 C.63 D.65

4.已知高为4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的4倍，则该圆台的表面积为（）

A. B. C. D.

5.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线，单位圆O分别相切于A，B两点，当最小时，（）

A. B. C. D.

6.若函数的两个零点分别为和，则（???）

A B. C. D.

7.甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（）

A. B. C. D.

8.已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（）

A. B. C.2 D.1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数，则（）

A.函数的定义域为

B.当时，函数在定义域上单调递增

C.曲线是中心对称图形

D.若，且的最小值是0

10.函数的定义域为，若存在满足：对任意的恒成立，则称为上的函数，则下列说法正确的是（）

A.若是上的函数，则为上的函数

B.，是上的函数

C.是上的函数，则

D.命题“是上的函数”的一个必要条件为“”

11.过点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，则下列结论正确的是（）

A.直线与抛物线有2个公共点

B.直线恒过定点

C.点的轨迹方程是

D.的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则__________.

13.已知球的半径等于4，，是球的某内接圆柱的上下底面圆心，，是球的直径（点在上，点在上），为的中点，若四边形是圆的内接矩形，，是圆柱的母线，且平面平面，则______.

14.已实数满足，则的取值范围是________．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

16.在锐角中，角的对边分别为，已知

（1）求角；

（2）若，求面积的取值范围.

17.如图，四棱锥中，四边形是菱形，平面，，，，分别是线段和上的动点，且，.

（1）若，求的值；

（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值；

（3）若直线与线段交于点，于点，当长度最小时，求的值.

18.某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立．

（1）若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望；

（2）若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）．

（3）若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明．

19.已知双曲线的离心率为，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为2.

（1）求双曲线的方程；

（2）设，若点在双曲线上，在点处的切线与两条渐近线分别交于两点，是坐标原点，且.

（i）证明数列等差数列，并求通项公式;

（ii）设数列的前项和为.求证:

对.

(其中表示不超过的最大整数，例如)